Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).

[ev.algebre/ex1106] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right).\]

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[planches/ex8976] imt PC 2022 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients valent 1.

On note \(\mathscr{F}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=0\}\).

1. Montrer que \(\mathscr{F}\) est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

   On pose \(\mathscr{E}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=A\}\).

2. Pour quels réels \(\lambda\) a-t-on \(\lambda A\in\mathscr{E}\) ?

3. Déterminer les éléments de \(\mathscr{E}\).

[concours/ex0403] centrale MP 1996 On considère le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} XY+YX &=& 0\\ X^2 &=& 0\\ Y^2 &=& 0\\ XY &\neq& 0 \end{array}\right.\quad\hbox{avec}\quad(X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\,.\]

1. Montrer que, pour \(n=2\), le système n’a pas de solution.

2. Montrer que, pour \(n=2r\) (avec \(r\geqslant 2\)), il y a une solution telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=r\).

3. Étudier le cas où \(n\) est impair.