[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).
[concours/ex8772]
[planches/ex9170] ens lyon MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(m\), \(p\) des entiers naturels tels que \(a^2+b^2-pm=-1\).
[planches/ex9170]
On pose \(A=\pmatrix{p&a+ib\cr a-ib&m}\). Montrer qu’il existe \(B\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q}(i))\) telle que \(A=B^*B\) où \(B^*=\bar{B}^T\). Même question avec \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}[i])\).
[concours/ex8522] centrale PC 2005 Trouver les matrices \(M\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que : \(M^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).
[concours/ex8522]
[oraux/ex7005] petites mines PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{1&3&5\cr2&4&6\cr3&5&7}\). Trouver toutes les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).
[oraux/ex7005]
[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).
[oraux/ex6891]
Vous pouvez pré-filtrer l'affichage des exercices, en imposant par exemple des exercices d'une filière en particulier