Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8412] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2005 Soient \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\) tel que \(C=AXB\).

[ev.algebre/ex1011] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=A\).

[ev.algebre/ex1104] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}3&1\\2&1\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}5&3\\ -2&-1\end{array}\right).\]

[planches/ex9692] mines MP 2023 Soient \(A=\pmatrix{1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \cr \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \cr 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1}\) et \(N=A-I_n\).

Soit \((E)\) l’équation matricielle \(X^2=A\).

1. Quelles sont les matrices qui commutent avec \(N\) ?

2. Montrer que les solutions de \((E)\) sont de la forme \(X=\pm\pmatrix{1 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & a_1 \cr 0 & \cdots & 0 & 1}\). Montrer qu’il y a au plus deux solutions.

3. Rappeler le développement limité à l’ordre \(n\) de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\). Résoudre \((E)\).

[concours/ex8647] polytechnique, espci PC 2008 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).