Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8500] centrale MP 2005

1. Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(AB=BA\). Montrer que \(A\in\mathbf{C}[B]\) ou \(B\in\mathbf{C}[A]\).

2. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_2(\mathbf{K})\), \(\mathbf{K}\) étant un sous-corps de \(\mathbf{C}\) ?

[oraux/ex7651] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(a_{1,1}=-1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A\) ?

[ev.algebre/ex1228] Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\26&27\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) telle que \(A^3=B\).

[oraux/ex6915] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^{n+2}+X^n=\pmatrix{1&-1\cr-1&1}\).

[examen/ex1002] hec courts S 2024

1. Soit \(P(x)\in\mathbf{R}[x]\) un polynôme. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(P\) définisse une fonction injective, respectivement surjective sur \(\mathbf{R}\).

2. On définit une fonction sur \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) par \(M\longmapsto P(M)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer que cette fonction n’est jamais injective si le degré de \(P\) est supérieur à 2.