Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3621] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A^2\neq0\). Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}*\), il existe \(B\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A=B^n\).

[concours/ex9123] hec courts T 2010 Déterminer en fonction de \(a\), toutes les matrices carrées \(M\) d’ordre 2 avec \(M=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\), qui vérifient les deux propriétés : \(M^2=M\) et \(M=\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\).

[concours/ex8500] centrale MP 2005

1. Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(AB=BA\). Montrer que \(A\in\mathbf{C}[B]\) ou \(B\in\mathbf{C}[A]\).

2. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_2(\mathbf{K})\), \(\mathbf{K}\) étant un sous-corps de \(\mathbf{C}\) ?

[ev.algebre/ex1246] Soit \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&8&5\\0&9&5\\0&0&4\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) dont les éléments diagonaux sont strictement positifs, telle que \(A^2=B\).

[oraux/ex4828] hec courts T 2012 Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des réels tous non nuls. Déterminer toutes les matrices carrées \(A\) d’ordre 2 avec \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) qui vérifient la propriété : \(A^2=2A\) (on exprimera les solutions en fonction du produit \(bc\)).