Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1928] centrale MP 1999 Résoudre \(A^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

[planches/ex8294] mines PC 2022 Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\), \(\beta_1\), … , \(\beta_n\) des réels. On note \(A=(a_{i,j})\) la matrice carrée telle que \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\) , \(a_{i,j}=\alpha_i\beta_j\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Montrer que \(A^2=(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)A\). Si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq0\), montrer qu’il existe une homothétie \(h\) et un projecteur \(p\) tels que \(A\) soit la matrice de \(h\mathbin{\circ} p\) dans une certaine base.

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de rang 1.

   Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) et \(Y\in\mathscr{M}_{1,n}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) tels que \(M=XY\).

4. Déduire des questions précédentes les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=0\).

[oraux/ex5803] ensea PSI 2012 Soit \(A\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^3=0\).

1. Donner le développement en série entière de \(x\mapsto \sqrt{1+x}\).

2. Existe-t-il \(B\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+I_n\) ?

[examen/ex0120] mines PC 2023 Trouver les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

[concours/ex0738] mines MP 1997 Trouver une matrice \(B\) telle que : \[B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right).\]

[concours/ex8555] mines PSI 2006 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) ? \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\) ?

[concours/ex6621] hec S 2008

1. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbf{N}^*\), l’application \(x\mapsto(1+x)^{1/2}\) admet un développement limité d’ordre \(p\) au voisinage de 0. On note \(P(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^pa_kX^k\) la partie régulière de ce développement limité.

2. Montrer que \(P^2-X-1\) est divisible par \(X^{p+1}\).

3. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente, c’est-à-dire : \(\exists k\in\mathbf{N}^*\), \(A^k=0\).

   Montrer que l’équation \(B^2=I_n+A\) d’inconnue \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)) admet au moins une solution.

[concours/ex5508] polytechnique PC 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array} \right)\).

1. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\), puis \(n\in\mathbf{Z}\).

2. Trouver \(B\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

[concours/ex8897] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex7849] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits N)=1\).

Déterminer les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=I_n+N\).

[planches/ex4638] polytechnique MP 2019 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation : \[B^2=\pmatrix{1&2&4\cr0&1&3\cr0&0&1}.\]

[oraux/ex3822] mines MP 2011

1. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer qu’il existe \(P_n\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(1+X-(P_n(X))^2\) soit divisible par \(X^n\).

   Indication : Utiliser le développement limité en 0 de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\).

2. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=I_n+N\).

[oraux/ex4641] escp B/L 2011

1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente (i. e telle qu’il existe \(p\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^p=0\)) d’indice \(q\) (i. e \(q\) est le plus petit entier naturel vérifiant \(N^q=0\)). Montrer que \(I_n-N\) est inversible et donner son inverse (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)).

2. Montrer l’inversibilité et calculer l’inverse de la matrice \[M= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & 0& \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & 1 & \ddots &0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots &-a \\ 0 & \ldots &\ldots & 0 &1\end{array}\right) \in {\cal M}_n(\mathbf{R}).\]

3. 1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(2\). Pour tout \(p \in \mathbf{N}^*\), calculer \((I_n+N)^p\).

   2. Soit \(M= \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\) ; exprimer \(M^{100}\) à l’aide d’une puissance de \(2\).

4. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(3\).

   1. Donner le développement limité de la fonction \(x \rightarrow\sqrt{1+x}\) au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2\).

   2. Montrer qu’il existe une matrice \(X\in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2= I_n+N\).

[oraux/ex7370] centrale PSI 2016 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence \(p\).

1. Montrer par deux méthodes que l’on a \(p\leqslant n\).

2. Trouver une condition suffisante pour qu’il n’existe aucune matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(X^2=M\).

3. Montrer qu’il existe \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(Y^2=I_n+M\).

[concours/ex8438] polytechnique PC 2005

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^3=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^{p+1}=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

4. Montrer que si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est assez proche de 0 en un sens à préciser, il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

[ev.algebre/ex1111] Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente, \(a\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que : \(X^2=aI_n+N\).

[oraux/ex7046] polytechnique MP 2014 Résoudre l’équation d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) suivante : \(X^2=\pmatrix{0&1\cr0&0}\).

[concours/ex5903] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où, \(\forall i\in\{1,\ldots,n-1\}\), \(m_{i+1,i}=1\), les autres coefficients étant nuls. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(A^2=M\).

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[concours/ex8624] polytechnique, ens cachan PSI 2008

1. Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^2=J\) où \(J=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\).

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{c|c} J&0\\\hline0&J\end{array}\right)\).

[planches/ex7424] escp S 2022 Soit un entier \(n\geqslant 1\). On note \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées de taille \(n\) à coefficients réels. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)\) désignent respectivement le noyau et l’image d’une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Soient \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(k\) un entier supérieur ou égal à \(1\). On note \(v_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\big(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\big)\) la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\) et \(w_k=\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\big(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A^k)\big)\) la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A^k).\)

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^k)\subset \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^{k+1})\) pour \(k\geqslant 1\). En déduire que \((v_k)_{k\geqslant 1}\) est une suite croissante.

2. Montrer que la suite \((w_k)_{k\geqslant 1}\) est une suite décroissante.

3. Supposons qu’il existe un entier \(k_0\geqslant 1\) tel que \(v_{k_0}=v_{k_0+1}\). Montrer que \(v_{k_0+1}=v_{k_0+2}\). Que peut-on alors dire des suites d’entiers \((v_k)_{k\geqslant k_0}\) et \((w_k)_{k\geqslant k_0}\)?

   Pour le reste de l’exercice, on définit les notions suivantes.
   Une matrice \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite nilpotente s’il existe un entier \(m\geqslant 1\) tel que \(M^m=0\).

   Pour une matrice nilpotente \(M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on définit son indice de nilpotence par : \[p=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{ m \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \mid M^m=0 \}.\]

4. Donner trois exemples de matrices nilpotentes de \(\mathcal {M}_{3}(\mathbb{R})\) : un où \(p=1\), un où \(p=2\) et un où \(p=3\).

5. Soit \(M\in \mathcal {M}_n(\mathbb{R})\) une matrice nilpotente. Montrer que \(p\leqslant n\).

6. On suppose ici que \(n\geqslant 2\). Soit \(B=(b_{i,j})_{i,j\in \{ 1,\ldots,n\}}\in \mathcal {M}_n(\mathbb{R})\) dont les coefficients \(b_{i,j}\) sont définis par : \[b_{i, i+1}=1 \hbox{ pour } i\in \{1, \ldots, n-1\} \hbox{ et } b_{i, j}=0 \hbox{ pour } j\neq i+1 .\] Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’équation d’inconnue \(M\) donnée par : \[M^2=B.\]

[concours/ex2427] ens lyon P 1995 Résoudre \(X^2+X=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex8779] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&-1\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex0050] Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda\in K\) tel que \[\lambda\,AB+A+B=0\,.\] Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

[oraux/ex6895] polytechnique, espci PC 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose que \(AB=A+B\). Montrer que \(A\) et \(B\) commutent.

[planches/ex3331] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB+A+B=0\).

1. On suppose \(A\) diagonale à coefficients diagonaux distincts. Montrer que \(B\) est diagonale.

2. La propriété est-elle vraie si \(A\) est seulement diagonale ?

[oraux/ex6019] hec courts E 2014 Soit \(D\) la matrice définie par : \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&4\end{array}\right)\).

1. Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(AD=DA\).

2. En déduire les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui vérifient \(M^3-2M=D\).

[oraux/ex5465] mines PC 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) et \((*)\) la condition \(A^2B=A\) \(\Leftrightarrow\) \(BA^2=A\).

1. Si \(A\) et \(B\) sont dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\), la condition \((*)\) est-elle vérifiée ?

2. Donner une condition suffisante pour que \((*)\) soit vérifiée.

3. Donner un exemple de couple \((A,B)\) tel que \(A^2B=A\) et \(BA^2\ne A\).

[oraux/ex8571] imt MP 2016 Soit \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(M^3-2M=D\).

[planches/ex6554] polytechnique, espci PC 2021 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(B)\) et \(A^2B=A\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^2)\).

2. Montrer que \(\mathbf{C}^n=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\).

3. Montrer que \(B^2A=B\).

[oraux/ex6911] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=BA=0\).

[concours/ex8571] centrale MP 2006 Quels sont les \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) telles que : \(\exists B\in\mathscr{M}_n(K)\setminus\{0\}\), \(AB=BA=0\) ?

[oraux/ex6950] mines PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible.

1. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=0\) et \(BA=0\) ?

2. Déterminer la dimension de \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AB=BA=0\}\).

[oraux/ex7064] polytechnique, espci PC 2014 Déterminer les matrices symétriques et nilpotentes de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[oraux/ex7166] polytechnique MP 2015 Toute matrice de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle le carré d’une matrice de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex6904] polytechnique, espci PC 2013 Si \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=X\) ?

[oraux/ex7585] mines PC 2014 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).

[concours/ex8774] polytechnique MP 2009 Soit \(P\in\mathbf{R}_2[X]\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(P(M)=0\).

[concours/ex3267] ens cachan M 1993 Résoudre \(X^2=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[ev.algebre/ex1114] Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \((A,B)\in\mathscr{M}_n(K)^2\) tel que : \[\forall X\in\mathscr{M}_n(K)\quad AXB=0.\] Montrer : \(A=0\) ou \(B=0\).

[oraux/ex7309] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(A\in\mathscr{M}_{s,t}(\mathbf{R})\). Montrer l’existence de \(M\in\mathscr{M}_{t,s}(\mathbf{R})\) telle que \(A=AMA\). Y a-t-il unicité ?

[oraux/ex6907] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Caractériser les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(MBM=M\).

[concours/ex8840] centrale PSI 2009 Déterminer les \((M,N)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tels que : \(\forall X\in\mathscr{M}_n(X)\), \(MXN=0\).

[concours/ex8434] polytechnique, ens cachan PSI 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AUA=A\).

[ev.algebre/ex1246] Soit \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&8&5\\0&9&5\\0&0&4\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) dont les éléments diagonaux sont strictement positifs, telle que \(A^2=B\).

[oraux/ex7219] mines PSI 2015 Déterminer \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) telle que : \[M^2=\pmatrix{0&1&1&1\cr1&0&1&1\cr1&1&0&1\cr1&1&1&0}.\]

[ev.algebre/ex1105] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=YX=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right).\]

[planches/ex7310] ensea PSI 2021 Trouver toutes les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\pmatrix{0&0&1\cr0&0&0\cr0&0&0}\).

[oraux/ex4828] hec courts T 2012 Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des réels tous non nuls. Déterminer toutes les matrices carrées \(A\) d’ordre 2 avec \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) qui vérifient la propriété : \(A^2=2A\) (on exprimera les solutions en fonction du produit \(bc\)).

[oraux/ex7260] ccem PSI 2015 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&2&0\cr1&2&3}\).