Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9170] ens lyon MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(m\), \(p\) des entiers naturels tels que \(a^2+b^2-pm=-1\).

On pose \(A=\pmatrix{p&a+ib\cr a-ib&m}\). Montrer qu’il existe \(B\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q}(i))\) telle que \(A=B^*B\) où \(B^*=\bar{B}^T\). Même question avec \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}[i])\).

[oraux/ex7193] polytechnique, espci PC 2015

1. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2)\).

2. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=I_2\).