Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6621] hec S 2008

1. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbf{N}^*\), l’application \(x\mapsto(1+x)^{1/2}\) admet un développement limité d’ordre \(p\) au voisinage de 0. On note \(P(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^pa_kX^k\) la partie régulière de ce développement limité.

2. Montrer que \(P^2-X-1\) est divisible par \(X^{p+1}\).

3. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente, c’est-à-dire : \(\exists k\in\mathbf{N}^*\), \(A^k=0\).

   Montrer que l’équation \(B^2=I_n+A\) d’inconnue \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)) admet au moins une solution.

[oraux/ex3822] mines MP 2011

1. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer qu’il existe \(P_n\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(1+X-(P_n(X))^2\) soit divisible par \(X^n\).

   Indication : Utiliser le développement limité en 0 de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\).

2. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex5508] polytechnique PC 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array} \right)\).

1. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\), puis \(n\in\mathbf{Z}\).

2. Trouver \(B\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

[concours/ex8897] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex7370] centrale PSI 2016 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence \(p\).

1. Montrer par deux méthodes que l’on a \(p\leqslant n\).

2. Trouver une condition suffisante pour qu’il n’existe aucune matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(X^2=M\).

3. Montrer qu’il existe \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(Y^2=I_n+M\).