Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6915] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^{n+2}+X^n=\pmatrix{1&-1\cr-1&1}\).

[planches/ex2699] imt PSI 2017 Soit \(A=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

1. Soit \(X\) une matrice telle que \(X^2=A\). Montrer que \(X\) et \(A\) commutent, puis que \(X\) est triangulaire supérieure.

2. Trouver toutes les matrices \(X\) telles que \(X^2=A\).

[examen/ex1002] hec courts S 2024

1. Soit \(P(x)\in\mathbf{R}[x]\) un polynôme. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(P\) définisse une fonction injective, respectivement surjective sur \(\mathbf{R}\).

2. On définit une fonction sur \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) par \(M\longmapsto P(M)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer que cette fonction n’est jamais injective si le degré de \(P\) est supérieur à 2.

[oraux/ex7230] mines PC 2015 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tels que \(AB-BA=B^2\).

1. Pour \(k\in\mathbf{N}^*\), calculer \(AB^k-B^kA\).

2. En déduire : \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(AP(B)-P(B)A=B^2P'(B)\).

[ev.algebre/ex1012] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=I_2\).