Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7230] mines PC 2015 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tels que \(AB-BA=B^2\).

1. Pour \(k\in\mathbf{N}^*\), calculer \(AB^k-B^kA\).

2. En déduire : \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(AP(B)-P(B)A=B^2P'(B)\).

[oraux/ex6413] hec courts T 2013 Soit \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\) des réels non nuls et soit \(M\) la matrice définie par \(M=\pmatrix{1&a_1/a_2&a_1/a_3\cr a_2/a_1&1&a_2/a_3\cr a_3/a_1&a_2/a_1&1}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que la matrice \(M\) n’est pas inversible.

2. Déterminer tous les vecteurs \(Y\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(MY=3Y\).

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).

[planches/ex2699] imt PSI 2017 Soit \(A=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

1. Soit \(X\) une matrice telle que \(X^2=A\). Montrer que \(X\) et \(A\) commutent, puis que \(X\) est triangulaire supérieure.

2. Trouver toutes les matrices \(X\) telles que \(X^2=A\).

[concours/ex8408] centrale 2004 Le corps de base \(\mathbf{K}\) étant celui des réels, puis celui des complexes, trouver les couples \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})^2\) tels que \({}^tXYX={}^tYXY=I_n\).