Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8410] centrale 2004 Étudier les couples \((A,B)\) de matrices carrées complexes d’ordre \(n\) telles que \(A^2=B^2=-I\) et \(AB+BA=0\).

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).

[concours/ex0403] centrale MP 1996 On considère le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} XY+YX &=& 0\\ X^2 &=& 0\\ Y^2 &=& 0\\ XY &\neq& 0 \end{array}\right.\quad\hbox{avec}\quad(X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\,.\]

1. Montrer que, pour \(n=2\), le système n’a pas de solution.

2. Montrer que, pour \(n=2r\) (avec \(r\geqslant 2\)), il y a une solution telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=r\).

3. Étudier le cas où \(n\) est impair.

[oraux/ex7193] polytechnique, espci PC 2015

1. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2)\).

2. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=I_2\).

[oraux/ex7314] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \[A=\pmatrix{0&1&0&\cdots&0\cr\vdots&0&1&\ddots&\vdots\cr\vdots&&\ddots&\ddots&0\cr\vdots&&&\ddots&1\cr0&\cdots&\cdots&\cdots&0}.\] Déterminer \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique et inversible telle que \(AS=S{}^tA\).