Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8372] centrale 2004

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_2(K)\) telles que \(AB=BA\). Montrer que soit \(A\in K[B]\) soit \(B\in K[A]\).

2. Le résultat subsiste-t-il dans \(\mathscr{M}_3(K)\) ?

[oraux/ex7260] ccem PSI 2015 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&2&0\cr1&2&3}\).

[oraux/ex7112] mines PC 2014 Trouver les couples \((A,B)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) tels que \(AB=BA=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).

[planches/ex3621] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A^2\neq0\). Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}*\), il existe \(B\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A=B^n\).

[concours/ex8410] centrale 2004 Étudier les couples \((A,B)\) de matrices carrées complexes d’ordre \(n\) telles que \(A^2=B^2=-I\) et \(AB+BA=0\).