Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7316] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice non nulle à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et \(M=I_n+3P\). Montrer que \(M^3\neq I_n\). Plus généralement, montrer, pour \(k\in\mathbf{N}\), que \(M^{3^k}\neq I_n\).

[concours/ex8522] centrale PC 2005 Trouver les matrices \(M\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que : \(M^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).

[oraux/ex7041] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose que tous les coefficients de \(A\) sont des entiers naturels et que l’ensemble \(\{(A^k)_{i,j},\ (i,j)\in[[1,n]]^2,\ k\in\mathbf{N}\}\) est fini. Montrer que \(A\) est une matrice de permutation.

[ev.algebre/ex1228] Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\26&27\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) telle que \(A^3=B\).

[oraux/ex7005] petites mines PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{1&3&5\cr2&4&6\cr3&5&7}\). Trouver toutes les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).

[ev.algebre/ex1106] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right).\]

[oraux/ex7314] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \[A=\pmatrix{0&1&0&\cdots&0\cr\vdots&0&1&\ddots&\vdots\cr\vdots&&\ddots&\ddots&0\cr\vdots&&&\ddots&1\cr0&\cdots&\cdots&\cdots&0}.\] Déterminer \(S\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) symétrique et inversible telle que \(AS=S{}^tA\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[ev.algebre/ex1244] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 4&21\\0&25 \end{array}\right).\]

[planches/ex8976] imt PC 2022 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients valent 1.

On note \(\mathscr{F}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=0\}\).

1. Montrer que \(\mathscr{F}\) est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

   On pose \(\mathscr{E}=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AMA=A\}\).

2. Pour quels réels \(\lambda\) a-t-on \(\lambda A\in\mathscr{E}\) ?

3. Déterminer les éléments de \(\mathscr{E}\).

[planches/ex2699] imt PSI 2017 Soit \(A=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

1. Soit \(X\) une matrice telle que \(X^2=A\). Montrer que \(X\) et \(A\) commutent, puis que \(X\) est triangulaire supérieure.

2. Trouver toutes les matrices \(X\) telles que \(X^2=A\).

[oraux/ex7193] polytechnique, espci PC 2015

1. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2)\).

2. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=I_2\).

[oraux/ex7299] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(S\) et \(P\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(P^2=P\), \(S^2=I_n\) et \((S-P)(S+P)=0\). Montrer que \(P=I_n\).

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[concours/ex0403] centrale MP 1996 On considère le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} XY+YX &=& 0\\ X^2 &=& 0\\ Y^2 &=& 0\\ XY &\neq& 0 \end{array}\right.\quad\hbox{avec}\quad(X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\,.\]

1. Montrer que, pour \(n=2\), le système n’a pas de solution.

2. Montrer que, pour \(n=2r\) (avec \(r\geqslant 2\)), il y a une solution telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=r\).

3. Étudier le cas où \(n\) est impair.

[oraux/ex7088] mines MP 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\). Déterminer tous les polynômes \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tels que \(P(J)=K\).

[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).

[planches/ex9170] ens lyon MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(m\), \(p\) des entiers naturels tels que \(a^2+b^2-pm=-1\).

On pose \(A=\pmatrix{p&a+ib\cr a-ib&m}\). Montrer qu’il existe \(B\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q}(i))\) telle que \(A=B^*B\) où \(B^*=\bar{B}^T\). Même question avec \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}[i])\).

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).

[oraux/ex6915] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^{n+2}+X^n=\pmatrix{1&-1\cr-1&1}\).