Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9458] mines 2004 Résoudre l’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

[oraux/ex5803] ensea PSI 2012 Soit \(A\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^3=0\).

1. Donner le développement en série entière de \(x\mapsto \sqrt{1+x}\).

2. Existe-t-il \(B\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+I_n\) ?

[examen/ex0120] mines PC 2023 Trouver les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

[planches/ex8294] mines PC 2022 Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\), \(\beta_1\), … , \(\beta_n\) des réels. On note \(A=(a_{i,j})\) la matrice carrée telle que \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\) , \(a_{i,j}=\alpha_i\beta_j\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Montrer que \(A^2=(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)A\). Si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq0\), montrer qu’il existe une homothétie \(h\) et un projecteur \(p\) tels que \(A\) soit la matrice de \(h\mathbin{\circ} p\) dans une certaine base.

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de rang 1.

   Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) et \(Y\in\mathscr{M}_{1,n}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) tels que \(M=XY\).

4. Déduire des questions précédentes les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=0\).

[concours/ex0738] mines MP 1997 Trouver une matrice \(B\) telle que : \[B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right).\]

[oraux/ex7370] centrale PSI 2016 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence \(p\).

1. Montrer par deux méthodes que l’on a \(p\leqslant n\).

2. Trouver une condition suffisante pour qu’il n’existe aucune matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(X^2=M\).

3. Montrer qu’il existe \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(Y^2=I_n+M\).

[concours/ex8438] polytechnique PC 2005

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^3=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^{p+1}=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

4. Montrer que si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est assez proche de 0 en un sens à préciser, il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

[planches/ex4638] polytechnique MP 2019 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation : \[B^2=\pmatrix{1&2&4\cr0&1&3\cr0&0&1}.\]

[oraux/ex4641] escp B/L 2011

1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente (i. e telle qu’il existe \(p\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^p=0\)) d’indice \(q\) (i. e \(q\) est le plus petit entier naturel vérifiant \(N^q=0\)). Montrer que \(I_n-N\) est inversible et donner son inverse (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)).

2. Montrer l’inversibilité et calculer l’inverse de la matrice \[M= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & 0& \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & 1 & \ddots &0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots &-a \\ 0 & \ldots &\ldots & 0 &1\end{array}\right) \in {\cal M}_n(\mathbf{R}).\]

3. 1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(2\). Pour tout \(p \in \mathbf{N}^*\), calculer \((I_n+N)^p\).

   2. Soit \(M= \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\) ; exprimer \(M^{100}\) à l’aide d’une puissance de \(2\).

4. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(3\).

   1. Donner le développement limité de la fonction \(x \rightarrow\sqrt{1+x}\) au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2\).

   2. Montrer qu’il existe une matrice \(X\in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2= I_n+N\).

[concours/ex5508] polytechnique PC 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array} \right)\).

1. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\), puis \(n\in\mathbf{Z}\).

2. Trouver \(B\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

[oraux/ex3822] mines MP 2011

1. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer qu’il existe \(P_n\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(1+X-(P_n(X))^2\) soit divisible par \(X^n\).

   Indication : Utiliser le développement limité en 0 de \(x\mapsto\sqrt{1+x}\).

2. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex8555] mines PSI 2006 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) ? \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\) ?

[concours/ex8897] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex7849] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits N)=1\).

Déterminer les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex6621] hec S 2008

1. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbf{N}^*\), l’application \(x\mapsto(1+x)^{1/2}\) admet un développement limité d’ordre \(p\) au voisinage de 0. On note \(P(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^pa_kX^k\) la partie régulière de ce développement limité.

2. Montrer que \(P^2-X-1\) est divisible par \(X^{p+1}\).

3. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente, c’est-à-dire : \(\exists k\in\mathbf{N}^*\), \(A^k=0\).

   Montrer que l’équation \(B^2=I_n+A\) d’inconnue \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)) admet au moins une solution.

[ev.algebre/ex1111] Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente, \(a\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que : \(X^2=aI_n+N\).

[oraux/ex7046] polytechnique MP 2014 Résoudre l’équation d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) suivante : \(X^2=\pmatrix{0&1\cr0&0}\).

[concours/ex8947] mines PC 2010 Soient \(n\geqslant 2\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) où \(a_{i,j}=1\) si \(j=i+1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\) ?

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[concours/ex8624] polytechnique, ens cachan PSI 2008

1. Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^2=J\) où \(J=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\).

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{c|c} J&0\\\hline0&J\end{array}\right)\).