Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8522] centrale PC 2005 Trouver les matrices \(M\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que : \(M^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex1104] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}3&1\\2&1\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}5&3\\ -2&-1\end{array}\right).\]

[ev.algebre/ex1011] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=A\).

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).

[ev.algebre/ex1244] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 4&21\\0&25 \end{array}\right).\]

[oraux/ex7299] polytechnique, espci PC 2016 Soient \(S\) et \(P\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(P^2=P\), \(S^2=I_n\) et \((S-P)(S+P)=0\). Montrer que \(P=I_n\).

[oraux/ex7041] polytechnique MP 2014 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose que tous les coefficients de \(A\) sont des entiers naturels et que l’ensemble \(\{(A^k)_{i,j},\ (i,j)\in[[1,n]]^2,\ k\in\mathbf{N}\}\) est fini. Montrer que \(A\) est une matrice de permutation.

[concours/ex4357] hec E 2006 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La matrice \(A\) est-elle inversible ?

2. Déterminer tous les entiers naturels \(p\) et \(q\) tels que \(A^{2p+1}=A^{2q}\).

3. Existe-t-il un entier \(n\) de \(\mathbf{N}\) tel que \(M^n=A\) si :

   1. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&1&1\\1&2&3\end{array}\right)\)

   2. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&1\end{array}\right)\) ?

[planches/ex9170] ens lyon MP 2023 Soient \(a\), \(b\), \(m\), \(p\) des entiers naturels tels que \(a^2+b^2-pm=-1\).

On pose \(A=\pmatrix{p&a+ib\cr a-ib&m}\). Montrer qu’il existe \(B\in \mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q}(i))\) telle que \(A=B^*B\) où \(B^*=\bar{B}^T\). Même question avec \(B\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}[i])\).

[oraux/ex7316] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice non nulle à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et \(M=I_n+3P\). Montrer que \(M^3\neq I_n\). Plus généralement, montrer, pour \(k\in\mathbf{N}\), que \(M^{3^k}\neq I_n\).