Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex1211] Trouver une matrice triangulaire supérieure telle que \(A^3=\left(\begin{array}{cc}8&-57\\0&27\end{array}\right)\).

[concours/ex8412] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2005 Soient \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\) tel que \(C=AXB\).

[ev.algebre/ex1011] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=A\).

[oraux/ex7130] centrale PSI 2014 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation : \(X^2+X=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).

[oraux/ex7088] mines MP 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\). Déterminer tous les polynômes \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tels que \(P(J)=K\).

[oraux/ex6026] hec T 2014

1. Question de cours : Définition d’une matrice inversible.

   On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des matrices \(A\) carrées d’ordre 2 pour lesquelles il existe une matrice \(B\) carrée d’ordre 2 telle que \(B^2=A\). On note \(I\) la matrice identité d’ordre 2.

2. Montrer que si \(B^2=A\), alors \(AB=BA\).

3. Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).

   1. Calculer \(B^2\).

   2. En déduire que pour tout réel \(r\), on a : \(rI\in\mathscr{C}\).

4. Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts et \(A=\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les matrices qui commutent avec \(A\) (deux matrices \(X\) et \(Y\) commutent si \(XY=YX\)).

   2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour que \(A\) appartienne à \(\mathscr{C}\).

5. Pour chacune des deux matrices suivantes, indiquer si elle appartient à \(\mathscr{C}\) : \(\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}\right)\).

6. Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre 2 appartenant à \(\mathscr{C}\) et soit \(P\) une matrice inversible d’ordre 2, d’inverse \(P^{-1}\). On pose : \(D=P^{-1}AP\). Montrer que \(D\) appartient à \(\mathscr{C}\).

[oraux/ex7193] polytechnique, espci PC 2015

1. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2)\).

2. Déterminer la dimension du sous-espace de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) engendré par les matrices \(M\) vérifiant \(M^2=I_2\).

[oraux/ex7316] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice non nulle à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et \(M=I_n+3P\). Montrer que \(M^3\neq I_n\). Plus généralement, montrer, pour \(k\in\mathbf{N}\), que \(M^{3^k}\neq I_n\).

[oraux/ex7755] mines MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z})\) : \(M^2=\pmatrix{\overline4&\overline2\cr\overline4&\overline1}\).

[planches/ex2699] imt PSI 2017 Soit \(A=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

1. Soit \(X\) une matrice telle que \(X^2=A\). Montrer que \(X\) et \(A\) commutent, puis que \(X\) est triangulaire supérieure.

2. Trouver toutes les matrices \(X\) telles que \(X^2=A\).