Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6907] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Caractériser les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(MBM=M\).

[concours/ex8434] polytechnique, ens cachan PSI 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AUA=A\).

[oraux/ex4811] escp courts 2012 Soient \(A\), \(B \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telles que pour toute matrice \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), \(A M B = 0\).

Montrer que \(A = 0\) ou \(B = 0\).

[concours/ex8840] centrale PSI 2009 Déterminer les \((M,N)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tels que : \(\forall X\in\mathscr{M}_n(X)\), \(MXN=0\).

[ev.algebre/ex1246] Soit \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&8&5\\0&9&5\\0&0&4\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) dont les éléments diagonaux sont strictement positifs, telle que \(A^2=B\).

[concours/ex9071] escp courts 2010 Trouver toutes les matrices \(M\) de \({\cal M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex8372] centrale 2004

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_2(K)\) telles que \(AB=BA\). Montrer que soit \(A\in K[B]\) soit \(B\in K[A]\).

2. Le résultat subsiste-t-il dans \(\mathscr{M}_3(K)\) ?

[ev.algebre/ex1105] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=YX=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right).\]

[oraux/ex7219] mines PSI 2015 Déterminer \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) telle que : \[M^2=\pmatrix{0&1&1&1\cr1&0&1&1\cr1&1&0&1\cr1&1&1&0}.\]

[concours/ex9123] hec courts T 2010 Déterminer en fonction de \(a\), toutes les matrices carrées \(M\) d’ordre 2 avec \(M=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\), qui vérifient les deux propriétés : \(M^2=M\) et \(M=\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\).