Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4638] polytechnique MP 2019 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation : \[B^2=\pmatrix{1&2&4\cr0&1&3\cr0&0&1}.\]

[planches/ex7849] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits N)=1\).

Déterminer les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=I_n+N\).

[ev.algebre/ex1111] Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente, \(a\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que : \(X^2=aI_n+N\).

[oraux/ex7370] centrale PSI 2016 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence \(p\).

1. Montrer par deux méthodes que l’on a \(p\leqslant n\).

2. Trouver une condition suffisante pour qu’il n’existe aucune matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(X^2=M\).

3. Montrer qu’il existe \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(Y^2=I_n+M\).

[oraux/ex4641] escp B/L 2011

1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente (i. e telle qu’il existe \(p\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^p=0\)) d’indice \(q\) (i. e \(q\) est le plus petit entier naturel vérifiant \(N^q=0\)). Montrer que \(I_n-N\) est inversible et donner son inverse (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)).

2. Montrer l’inversibilité et calculer l’inverse de la matrice \[M= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & 0& \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & 1 & \ddots &0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots &-a \\ 0 & \ldots &\ldots & 0 &1\end{array}\right) \in {\cal M}_n(\mathbf{R}).\]

3. 1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(2\). Pour tout \(p \in \mathbf{N}^*\), calculer \((I_n+N)^p\).

   2. Soit \(M= \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\) ; exprimer \(M^{100}\) à l’aide d’une puissance de \(2\).

4. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(3\).

   1. Donner le développement limité de la fonction \(x \rightarrow\sqrt{1+x}\) au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2\).

   2. Montrer qu’il existe une matrice \(X\in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2= I_n+N\).

[concours/ex8897] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex6956] mines PC 2013 Soient \((n,p)\in\mathbf{N}^2\) avec \(n\geqslant 2\) et \(p\geqslant 2\), \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) où \(m_{i,j}=1\) si \(j=i+1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(A^p=N\) ?

[planches/ex3330] polytechnique, espci PC 2018 Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\pmatrix{0&1\cr0&0}\) ?

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[concours/ex8624] polytechnique, ens cachan PSI 2008

1. Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^2=J\) où \(J=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\).

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{c|c} J&0\\\hline0&J\end{array}\right)\).