Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6915] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^{n+2}+X^n=\pmatrix{1&-1\cr-1&1}\).

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[concours/ex8412] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2005 Soient \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\) tel que \(C=AXB\).

[concours/ex3831] ensi M 1992 Déterminer toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(K)\) telles que \(M^2=0\).

[oraux/ex7230] mines PC 2015 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tels que \(AB-BA=B^2\).

1. Pour \(k\in\mathbf{N}^*\), calculer \(AB^k-B^kA\).

2. En déduire : \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(AP(B)-P(B)A=B^2P'(B)\).

[concours/ex0403] centrale MP 1996 On considère le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} XY+YX &=& 0\\ X^2 &=& 0\\ Y^2 &=& 0\\ XY &\neq& 0 \end{array}\right.\quad\hbox{avec}\quad(X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\,.\]

1. Montrer que, pour \(n=2\), le système n’a pas de solution.

2. Montrer que, pour \(n=2r\) (avec \(r\geqslant 2\)), il y a une solution telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits X=r\).

3. Étudier le cas où \(n\) est impair.

[oraux/ex7072] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(n\in\mathbf{N}\setminus\{0,1\}\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(M^n=\pmatrix{0&1\cr-1&0}\).

[planches/ex3408] mines MP 2018 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) l’équation \(X^{2n+1}+X=I_2\).

[oraux/ex6929] mines MP 2013 Trouver tous les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) tels que \(X^2=\pmatrix{2&6\cr3&4}\).

[ev.algebre/ex1211] Trouver une matrice triangulaire supérieure telle que \(A^3=\left(\begin{array}{cc}8&-57\\0&27\end{array}\right)\).