Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5802] ensam PSI 2012 Existe-t-il \(B\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\) ?

[examen/ex0120] mines PC 2023 Trouver les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=\pmatrix{1&2&3\cr0&1&2\cr0&0&1}\).

[oraux/ex5803] ensea PSI 2012 Soit \(A\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^3=0\).

1. Donner le développement en série entière de \(x\mapsto \sqrt{1+x}\).

2. Existe-t-il \(B\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+I_n\) ?

[concours/ex0738] mines MP 1997 Trouver une matrice \(B\) telle que : \[B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right).\]

[planches/ex8294] mines PC 2022 Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\), \(\beta_1\), … , \(\beta_n\) des réels. On note \(A=(a_{i,j})\) la matrice carrée telle que \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\) , \(a_{i,j}=\alpha_i\beta_j\).

1. Donner le rang de \(A\).

2. Montrer que \(A^2=(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)A\). Si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq0\), montrer qu’il existe une homothétie \(h\) et un projecteur \(p\) tels que \(A\) soit la matrice de \(h\mathbin{\circ} p\) dans une certaine base.

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de rang 1.

   Montrer qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) et \(Y\in\mathscr{M}_{1,n}(\mathbf{R})\setminus\{0\}\) tels que \(M=XY\).

4. Déduire des questions précédentes les matrices \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=0\).

[oraux/ex4641] escp B/L 2011

1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente (i. e telle qu’il existe \(p\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^p=0\)) d’indice \(q\) (i. e \(q\) est le plus petit entier naturel vérifiant \(N^q=0\)). Montrer que \(I_n-N\) est inversible et donner son inverse (\(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\)).

2. Montrer l’inversibilité et calculer l’inverse de la matrice \[M= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & 0& \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -a & \ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots & 1 & \ddots &0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots &-a \\ 0 & \ldots &\ldots & 0 &1\end{array}\right) \in {\cal M}_n(\mathbf{R}).\]

3. 1. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(2\). Pour tout \(p \in \mathbf{N}^*\), calculer \((I_n+N)^p\).

   2. Soit \(M= \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\) ; exprimer \(M^{100}\) à l’aide d’une puissance de \(2\).

4. Soit \(N \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) une matrice nilpotente d’indice \(3\).

   1. Donner le développement limité de la fonction \(x \rightarrow\sqrt{1+x}\) au voisinage de \(0\), à l’ordre \(2\).

   2. Montrer qu’il existe une matrice \(X\in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2= I_n+N\).

[planches/ex7849] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits N)=1\).

Déterminer les matrices \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=I_n+N\).

[concours/ex8897] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex8555] mines PSI 2006 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) ? \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\) ?

[concours/ex8438] polytechnique PC 2005

1. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^3=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

3. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^{p+1}=0\). Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).

4. Montrer que si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est assez proche de 0 en un sens à préciser, il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=I_n+M\).