Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4039] polytechnique pox P 1990 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}\displaystyle\int_0^x\sqrt{\displaystyle{1+t\over x^2-t^2}}\,dt\).

[oraux/ex2492] ccp PC 2010 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{1\over1+t^x}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(F(x)+F(-x)=1\). Calculer \(F(k)\) pour \(k\in\{-2,-1,0,1,2\}\).

2. Déterminer les limites de \(F\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Donner un équivalent de \(F(x)-1\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Montrer que \(F\) est convexe sur \(\mathbf{R}_+\) et concave sur \(\mathbf{R}_-\).

[oraux/ex2371] mines PC 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)x^t\over(1-x^2)^{1/3}}\,dx\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), les limites de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\) et quand \(t\rightarrow1^+\). Donner un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[planches/ex3286] polytechnique MP 2018 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(xf'(x)-f(x)\rightarrow\alpha\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

1. Pour \(m>0\), trouver la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle{f(mx)\over f(x)}\).

2. Pour tout \(t>0\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\) converge.

3. On suppose dans cette question \(\alpha>-1\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow0^+}}{C\over t}f(1/t)\).

[oraux/ex2315] centrale PSI 2005 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2xt^2)\over t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est bien défini.

2. Continuité et dérivabilité de \(f\).

3. Étudier le comportement de \(f\) en \(+\infty\).