Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2338] mines MP 2006 On pose, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle{1\over x}\int_0^{+\infty}{1-e^{-tx}\over1+t^2}\,dt\). Montrer que \(f\) est \(C^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) et trouver des équivalents simples en 0 et en \(+\infty\).

[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).

[planches/ex2260] mines PSI 2017 On définit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t}\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Prouver le caractère \(\mathscr{C}^1\) de \(f\).

3. Établir l’existence et la valeur de la limite de \(f\) en \(+\infty\).

4. Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex8096] mines MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{xu\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u)}\,du\).

1. Domaine de définition de \(f\) ?

2. Soit \(g\) une fonction continue par morceaux et bornée sur \(\mathbf{R}\), continue en 0. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}xg(u)e^{-xu}\,du\) tend vers \(g(0)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\). Que peut-on dire si \(g\) est supposée intégrable au lieu de bornée ?

3. Déterminer la limite de \(xf(x)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\).

[planches/ex5647] imt PSI 2019 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-xt^2}\over1+t}\,dt\).

1. Montrer que pour tout \(x>0\), l’intégrale \(F(x)\) est convergente.

2. Étudier les variations de la fonction \(F\).

3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).

4. Montrer que, pour tout \(x>0\), \(F(x)\geqslant\displaystyle{1\over e}\int_0^{1/\sqrt x}{dt\over1+t}\). En déduire la limite de \(F\) en 0.