[concours/ex0245] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-t^2x^2)}}\). Préciser le domaine de définition de \(f\) et étudier sa continuité. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1^-\).
[concours/ex0245]
[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009
[oraux/ex2402]
Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).
Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).
[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0494]
Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.
Montrer que \(F\) est continue.
Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).
[examen/ex0556] centrale PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(xt)}{t^2}e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Préciser le domaine de définition de \(f\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).
[examen/ex0556]
[planches/ex8458] mines PC 2022
[planches/ex8458]
Montrer que la fonction \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\) est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\), et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).
Montrer que le graphe de \(f\) possède une tangente verticale au point d’abscisse 1.
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