Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4910] ens lyon MP 2012 Soient \(E:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto \displaystyle\int_x ^{+\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy\) et \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^x \frac{1-e^{-y}}{y} \,dy\).

1. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(E(x) -F(x)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x +\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-y}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits y \,dy\).

2. Soit \(s>0\). Montrer qu’il existe un unique réel \(>0\) que l’on notera \(x(s)\) tel que \(E\left(x(s)\right)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1-e^{-s})\).

3. Donner un développement limité à deux termes de \(x(s)\) quand \(s\rightarrow 0^+\).

[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).

1. Justifier la définition de \(I_n\).

2. Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

3. Comparer \(I_n\) et \(J_n\).

4. Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).

5. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

6. Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).

7. Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

8. Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.

[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)

Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

1. Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).

2. Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).

3. Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.

4. Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).

5. Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).

[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[planches/ex9499] polytechnique MP 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta>0\). Pour \(x>0\), on pose \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-t-xt^\alpha}\mathrm{d}t\).

1. Déterminer la limite et un équivalent de \(I\) en \(+\infty\).

2. Donner un développement asymptotique de \(I\) à tout ordre.

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d’une série convergente pour tout \(x>0\).

[oraux/ex2492] ccp PC 2010 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{1\over1+t^x}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(F(x)+F(-x)=1\). Calculer \(F(k)\) pour \(k\in\{-2,-1,0,1,2\}\).

2. Déterminer les limites de \(F\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Donner un équivalent de \(F(x)-1\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Montrer que \(F\) est convexe sur \(\mathbf{R}_+\) et concave sur \(\mathbf{R}_-\).