Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5522] mines PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\).

2. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes.

[oraux/ex4910] ens lyon MP 2012 Soient \(E:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto \displaystyle\int_x ^{+\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy\) et \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^x \frac{1-e^{-y}}{y} \,dy\).

1. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(E(x) -F(x)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x +\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-y}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits y \,dy\).

2. Soit \(s>0\). Montrer qu’il existe un unique réel \(>0\) que l’on notera \(x(s)\) tel que \(E\left(x(s)\right)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1-e^{-s})\).

3. Donner un développement limité à deux termes de \(x(s)\) quand \(s\rightarrow 0^+\).

[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).

1. Justifier la définition de \(I_n\).

2. Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

3. Comparer \(I_n\) et \(J_n\).

4. Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).

5. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

6. Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).

7. Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

8. Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.

[examen/ex4351] centrale PC 2025 (avec Python)

Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie.

2. Montrer que \(f\) est continue.

3. Montrer que \(f\) a pour limite 0 en \(+\infty\).

4. Une fonction calculant \(f\) est fournie dans Python. Afficher le graphe de \(f\) sur \([0,1;10]\). Conjecturer la monotonie et la limite de \(f\) en 0. Afficher le graphe sur \([10,100]\) de \(xf(x)\) et de \((x+1)f(x)\). Conjecturer un encadrement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). Tracer \(x\mapsto\displaystyle\frac{f(x)}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\) et conjecturer un équivalent en 0.

5. Démontrer la monotonie et la limite en 0 conjecturées à la question précédente.

6. Montrer l’équivalent en \(+\infty\).

[examen/ex4247] imt PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^{tx}+e^{-t}}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Donner des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).

[planches/ex4527] ens paris MP 2019 Déterminer la limite de \(\displaystyle{1\over A}\int_1^AA^{1/x}\,dx\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex0682] polytechnique PC 1997 Soit \(\varphi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty} {tx^2\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\over\left(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\right)^2}\,dx\). Étudier \(\varphi\) et trouver un équivalent quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2385] centrale MP 2008

1. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?

2. Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.

3. Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?

[planches/ex0845] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose, sous réserve d’existence, \[f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt.\]

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex3948] centrale PSI 2018 Soit \(f:\left]0,1\right]\rightarrow\mathbf{R}\) continue, telle que \(f(t)\sim\lambda t^\alpha\) au voisinage de 0 avec \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). On pose \(g:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^xf(t)\over\sqrt{1-t}}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(g\).

2. Montrer que \(g\) est continue.

3. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

4. Sans utiliser le théorème de convergence dominée, déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).

1. Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?

2. \(f\) est-elle continue ?

3. Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).

[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.

3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).

4. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2316] centrale PSI 2005

1. Montrer que \(\varphi(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}-e^{-xt}\over t}\,dt\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\) et que \(\varphi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\).

2. Montrer que \(\psi(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({e^{-t}\over t}-{e^{-xt}\over1-e^{-t}}\right)\,dt\) est \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en trouver un équivalent pour \(x\rightarrow+\infty\).

[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.

[planches/ex0691] mines MP 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t\over1+t^2}e^{-xt}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition réel de \(F\).

2. Étudier la continuité et les variations de \(F\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\) et quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).

Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).

[oraux/ex2371] mines PC 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)x^t\over(1-x^2)^{1/3}}\,dx\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), les limites de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\) et quand \(t\rightarrow1^+\). Donner un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?

[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[planches/ex0693] mines MP 2013 Pour \(x\) dans \(\mathbf{R}^*\), on pose : \[I(x)=\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2(xt)}\,dt.\]

1. Existence de \(I(x)\) ?

2. Donner la limite puis un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0689] polytechnique MP 2013 Pour \(\lambda>0\), on définit, sous réserve d’existence, \[I(\lambda)=\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)^\lambda}.\] Déterminer la limite puis un équivalent de \(I(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex5376] mines MP 2012 Équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^\pi x^t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\,dt\).

[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).

1. Déterminer \(I\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).

3. Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.

4. Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).

[oraux/ex2492] ccp PC 2010 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{1\over1+t^x}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(F(x)+F(-x)=1\). Calculer \(F(k)\) pour \(k\in\{-2,-1,0,1,2\}\).

2. Déterminer les limites de \(F\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Donner un équivalent de \(F(x)-1\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Montrer que \(F\) est convexe sur \(\mathbf{R}_+\) et concave sur \(\mathbf{R}_-\).

[planches/ex0904] navale PSI 2016 Soit \(x>0\). Justifier l’existence de \[f(x)=\int_0^x{e^{-t}\over\sqrt{t(x-t)}}\,dt.\] Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex1825] polytechnique PSI 2017 Soit \[g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R},\quad u\longmapsto\int_0^{+\infty}{1-e^{-ut}\over t(\sqrt t+1)}\,dt.\]

1. Vérifier l’existence de \(g\).

2. Étudier la dérivabilité de \(g\) et ses variations.

3. Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(g(u)\sim c\sqrt u\) au voisinage de \(0^+\).

[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).

1. Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).

2. 1. Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

   2. Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).

3. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).

   2. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).

4. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).

5. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).

[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).

[planches/ex6812] mines MP 2021 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_{-a}^a{\sqrt{1+x^2}\over\sqrt{a^2-x^2}}\,dx\). Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\).

[concours/ex0089] polytechnique MP 1996 Montrer que, pour tout \(\theta>0\), il existe \(C_\theta>0\) tel que \[\int_0^{\textstyle{\theta\over\sqrt\alpha}}(1-x^2)^a\,dx \mathrel{\mathop\sim\limits_{a\rightarrow+\infty}} {C_\theta\over\sqrt a}\,.\]

[concours/ex3661] mines M 1992 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1\sqrt{x^2+2xt+t^3}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et sur un voisinage de \(-\infty\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\). \(F\,'\) a-t-elle une limite en \(0\) ?

3. Montrer que le graphe de \(F\) admet une asymptote en \(+\infty\), la déterminer.

4. Montrer que le domaine de définition de \(F\) est \(\left]-\infty,\xi\right]\cup\left[0,+\infty\right[\), le réel \(\xi\) étant à déterminer.

[concours/ex5212] escp B/L 2007 Pour \(t\in\mathbf{R}^*_+\) et \(x\in\mathbf{R}^*\), on pose : \(g(t,x)=\displaystyle{x\over \sqrt{t}(1+tx^2)}\), et \(u_n(x)=g(n,x)\).

1. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n(x)\).

   Pour les \(x\) réels pour lesquels cette série converge, on pose : \[S(x)=\sum\limits\limits_{n=1}^{+\infty}u_n(x).\]

2. On pose maintenant, pour \(x>0\), \[I_1(x)=\int_{1}^{+\infty}g(t,x)\,dt\quad\hbox{et}\quad I_2(x)=\int_{0}^{+\infty}g(t,x)\,dt.\] Montrer que ces deux intégrales sont convergentes puis calculer leur valeur.

3. Montrer que \(I_1(x)\leqslant S(x)\leqslant I_2(x)\) et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{x\rightarrow 0}S(x)\).

[oraux/ex5381] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\,dt\). Définition ? Limite en \(+\infty\) ? Dérivabilité ? Équivalent en \(+\infty\) ? Que vaut \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\,dx\) ?

[planches/ex2818] PC 2017 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \[f_n:x\longmapsto\int_0^{+\infty}{e^{-xt}\over(1+t)^n}\,dt\quad\hbox{et}\quad g_n:x\longmapsto\int_x^{+\infty}{e^{-t}\over t^n}\,dt.\]

1. Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont définies sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que, pour \(x>0\), \(f_n(x)=x^{n-1}e^xg_n(x)\).

3. Montrer que, pour \(n\geqslant 2\), \(f_n\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et y est de classe \(\mathscr{C}^\infty\).

4. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Donner un équivalent de \(g_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).

5. Montrer que \(g_n(x)\sim e^{-x}/x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

6. Donner une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par \(f_n\).

[concours/ex3642] mines M 1992 Soit \(I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \left(a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\right)^{-\textstyle{1\over3}}\,dt\). Équivalent quand \(a\) tend vers \(0^+\).

[planches/ex3285] polytechnique MP 2018

1. Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{-xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Soient \(a\in\left]0,1\right[\) et \(b\in\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(J(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

[concours/ex3066] polytechnique M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(a\) tend vers \(0^+\), de : \[I_a=\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^4)(t^2+a^2)}.\]

[planches/ex7789] polytechnique MP 2022 On pose \(g:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over\pi(1+x^2)}\). Pour \(y\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(g_y:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over y}g(x/y)\).

Soit \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{C}\) continue, nulle en dehors d’un segment.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), la fonction \(y\longmapsto\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt\) tend vers \(f(x)\) en \(0^+\).

2. Montrer plus précisément que, pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que \(\left|\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt-f(x)\right|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(x\in\mathbf{R}\) et tout \(y\in\left]0,\delta\right]\).

[planches/ex3286] polytechnique MP 2018 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(xf'(x)-f(x)\rightarrow\alpha\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

1. Pour \(m>0\), trouver la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle{f(mx)\over f(x)}\).

2. Pour tout \(t>0\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\) converge.

3. On suppose dans cette question \(\alpha>-1\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow0^+}}{C\over t}f(1/t)\).

[planches/ex1908] polytechnique, espci PC 2017 Soit \[F:a\in\mathbf{R}_+^*\longmapsto\int_{-a}^a{dx\over\sqrt{(1+x^2)(a^2-x^2)}}.\]

1. Montrer que \(F\) est bien définie.

2. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).

3. Déterminer la limite \(\ell\) de \(F\) en \(0^+\), puis un équivalent de \(F-\ell\).

[planches/ex0741] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Trouver un équivalent, lorsque \(t\rightarrow+\infty\), de : \[I(t)=\int_\mathbf{R}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x^2)e^{-t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x)^2}\,dx.\]

[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[planches/ex5120] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que \(f\) est croissante et continue sur \(\mathbf{R}\).

3. Donner une expression de \(f(x)\) comme somme de série pour \(x>0\).

4. Étudier la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).

2. Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).

[oraux/ex2406] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{e^{-t^2}\over t}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable ?

2. Montrer que \(e^{x^2}f(x)\) est bornée sur \(\left[1,+\infty\right[\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\).

4. L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est-elle convergente ?

[planches/ex0744] polytechnique MP 2014 Donner un équivalent, lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\), de : \[\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(-\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x\right)\,dx.\]