[examen/ex4242] saint-cyr PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex4242]
Déterminer l’ensemble de définition \(\mathscr{D}_f\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue puis de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathscr{D}_f\).
Conjecturer à l’aide de Python la valeur de \(f(2)\). Prouver cette conjecture.
Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur son domaine.
Calculer les limites de \(f\) en \(1^+\) et en \(+\infty\).
[concours/ex3658] mines M 1992 Étude de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\). Domaine de définition, dérivabilité, montrer que \[\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1}f'(x)=+\infty.\]
[concours/ex3658]
[concours/ex5831] mines PC 2007 Soit \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\). Déterminer le domaine de définition, étudier la continuité et faire une étude aux bornes.
[concours/ex5831]
[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex0699]
Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Étudier la régularité de \(f\).
Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.
Représenter le graphe de \(f\).
[examen/ex0556] centrale PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(xt)}{t^2}e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Préciser le domaine de définition de \(f\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).
[examen/ex0556]
[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).
[examen/ex3896]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.
[planches/ex2577] centrale PSI 2017 (avec Python)
[planches/ex2577]
Python
On note \(L=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).
Montrer que cette intégrale est convergente.
Écrire une fonction donnant une valeur approchée de \(L\). Conjecturer la valeur exacte.
Calculer \(L\).
On note, pour \(x>0\), \(J(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
Montrer que \(J\) est continue sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(J(x)\). Donner les valeurs obtenues pour \(x\in\{1/2,1,3,10\}\).
On note, pour \(x>0\), \(K(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(K(x)\).
Avec Python, visualiser l’existence de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}(J(x)-K(x))\) et conjecturer la valeur de cette limite.
Démontrer cette conjecture.
[concours/ex1177] polytechnique PC 1998 Soit \(\alpha>0\) et \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^\alpha t+x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^\alpha t\right)^{1/\alpha}}\).
[concours/ex1177]
Déterminer le domaine de définition de \(I(x)\).
Donner un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^+\).
[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).
[planches/ex7412]
Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).
Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).
Indication : Intégrer par parties.
En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.
Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).
Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?
Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.
[concours/ex3211] mines M 1993 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\displaystyle\int^\varepsilon_{\varepsilon^2} {du\over\sqrt{(u+1)u(\varepsilon+\varepsilon^2-u)}}\).
[concours/ex3211]
[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]
[concours/ex5729]
Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).
Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).
[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?
[concours/ex3061]
On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).
[concours/ex1510] centrale PC 1998 On pose \(I(a)=\displaystyle\int_0^1{dt\over t^3+a^3}\).
[concours/ex1510]
Étudier la limite de \(I(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\).
Trouver un équivalent de \(I(a)\).
[concours/ex3769] centrale M 1992 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Domaine de définition, monotonie ? Calculer \[I_n=\int_1^{+\infty}{dt\over t^{n+1}\sqrt{t-1}}\] et montrer que \(f\) est développable en série entière.
[concours/ex3769]
Indication : on pourra écrire \[{1\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}=\sum\limits_{p=0}^{+\infty}u_p(t)x^p,\] et montrer la décroissance de la suite \((u_p(t))\).
[oraux/ex5380] mines MP 2012 Soient \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac1{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\) et \(J:x\mapsto \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
[oraux/ex5380]
Déterminer la limite en 0 de \(I(x) -J(x)\).
Donner une développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(I(x)\) en \(0\).
[concours/ex2610] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{tx}\,dt\). Définition, continuité, limite en \(+\infty\).
[concours/ex2610]
[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).
[concours/ex5737]
Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).
Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.
[concours/ex0867] ens PC 1997 Équivalents en \(0\) et en \(+\infty\) de \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2xt\over t^2(1+t^2)}\,dt\).
[concours/ex0867]
[planches/ex0793] mines PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^x{e^t\over t+x}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Étudier la limite de \(f\) en \(0^+\).
[planches/ex0793]
[planches/ex7407] ccinp PC 2021
[planches/ex7407]
Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.
On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).
Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?
Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).
Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).
Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).
En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.
[concours/ex1525] centrale MP 1998 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).
[concours/ex1525]
Préciser l’ensemble de définition (réel) et étudier la continuité de \(f\).
Montrer que pour tout \(x\in\left]-2,+\infty\right[\), \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\displaystyle{1\over n(n+x+1)^2}\). Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).
[oraux/ex2383]
Donner le domaine de définition de \(f\).
Étudier la continuité de \(f\).
Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.
Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0838] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1x^{tx}\,dx\). Donner un développement limité à l’ordre 2 de \(f\) en 0.
[planches/ex0838]
[oraux/ex2420] mines PC 2009 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^1{x^a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}\,dx\).
[oraux/ex2420]
Justifier l’existence de \(F\).
Donner un équivalent de \(F(a)\) quand \(a\rightarrow+\infty\).
[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).
[examen/ex2650]
Préciser le domaine de définition de \(f\).
Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).
En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).
Étudier la monotonie de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue.
Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).
Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.
[planches/ex8457] mines PC 2022 Domaine de définition et limite en \(+\infty\) de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1{dt\over(1-t^x)^{1/x}}\) ?
[planches/ex8457]
[planches/ex5112] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle{1\over x}\int_0^{+\infty}{1-e^{-tx}\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex5112]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Trouver un équivalent simple de \(f\) en \(+\infty\).
Trouver un équivalent simple de \(f\) en 0.
[concours/ex3432] tpe, int, iie M 1993 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{t^x}\,dt\). Domaine de définition, continuité, tableau de variation, limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).
[concours/ex3432]
[planches/ex4168] imt PC 2018 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
[planches/ex4168]
Monter que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
En déduire la limite, lorsque \(a\rightarrow0\), de \(\displaystyle{F(a)\over a}\).
[planches/ex0903] imt MP 2016 Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt\).
[planches/ex0903]
Montrer que \(F\) est bien définie et continue.
On pose \(G(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt-{1\over x}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\). Montrer que \(G(x)=O(1/x^2)\) quand \(x\rightarrow+\infty\). En déduire un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\).
[planches/ex2128] mines MP 2017 On pose \(I(s)=\displaystyle\int_s^1{dt\over\sqrt{t(t-s)}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). La fonction \(I\) est elle continue ? de classe \(\mathscr{C}^1\) ? Donner un équivalent de \(I(s)\) quand \(s\) tend vers 1.
[planches/ex2128]
[planches/ex4978] mines MP 2019 Domaine de définition, continuité et équivalents aux bornes de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t\sqrt{1+t^x}}\).
[planches/ex4978]
[oraux/ex5374] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto \displaystyle\frac12\,\int_0^{\pi/2}e^{-x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,\,dt\).
[oraux/ex5374]
Définition, régularité, variations, limites aux bornes.
Existence et unicité d’un point fixe.
Étude des suites réelles vérifiant \(\forall n\in\mathbf{N}\,,\;x_{n+1}=f(x_n)\).
[planches/ex1907] polytechnique, espci PC 2017 Soit : \[I:\alpha\in\mathbf{R}_+\longmapsto\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)(1+x^\alpha)}.\]
[planches/ex1907]
Justifier la définition de \(I\). Calculer \(I(0)\).
Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\rightarrow+\infty\).
Calculer \(I(\alpha)\) pour \(\alpha\in\mathbf{R}_+\).
[planches/ex0831] polytechnique MP 2016 Soit \[I:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over t+x}\,dt.\] Déterminer un équivalent de \(I(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).
[planches/ex0831]
[planches/ex8096] mines MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{xu\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u)}\,du\).
[planches/ex8096]
Domaine de définition de \(f\) ?
Soit \(g\) une fonction continue par morceaux et bornée sur \(\mathbf{R}\), continue en 0. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}xg(u)e^{-xu}\,du\) tend vers \(g(0)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\). Que peut-on dire si \(g\) est supposée intégrable au lieu de bornée ?
Déterminer la limite de \(xf(x)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\).
[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).
[planches/ex5768]
Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).
Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).
[planches/ex5647] imt PSI 2019 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-xt^2}\over1+t}\,dt\).
[planches/ex5647]
Montrer que pour tout \(x>0\), l’intégrale \(F(x)\) est convergente.
Étudier les variations de la fonction \(F\).
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Montrer que, pour tout \(x>0\), \(F(x)\geqslant\displaystyle{1\over e}\int_0^{1/\sqrt x}{dt\over1+t}\). En déduire la limite de \(F\) en 0.
[planches/ex2260] mines PSI 2017 On définit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t}\).
[planches/ex2260]
Prouver le caractère \(\mathscr{C}^1\) de \(f\).
Établir l’existence et la valeur de la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex3641] mines M 1992 On pose \[J(a)=\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^4x+a^4}}\,dx.\] Étudier la convergence de \(J(a)\). Déterminer la limite, puis un équivalent de \(J(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(0\).
[concours/ex3641]
[planches/ex0846] mines MP 2016 On note, sous réserve d’existence, pour \(x\in\mathbf{R}\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)+x}\).
[planches/ex0846]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et déterminer sa limite en \(+\infty\).
Montrer que pour \(x\in\left]1,+\infty\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{2\,du\over1+2ux+u^2}\). Calculer \(f(1)\).
[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2358]
[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).
[planches/ex0723]
[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).
[examen/ex3802]
[planches/ex4527] ens paris MP 2019 Déterminer la limite de \(\displaystyle{1\over A}\int_1^AA^{1/x}\,dx\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex4527]
[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).
[oraux/ex2346]
Justifier la définition de \(I_n\).
Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Comparer \(I_n\) et \(J_n\).
Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).
Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).
Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.
Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.
[planches/ex7789] polytechnique MP 2022 On pose \(g:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over\pi(1+x^2)}\). Pour \(y\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(g_y:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over y}g(x/y)\).
[planches/ex7789]
Soit \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{C}\) continue, nulle en dehors d’un segment.
Montrer que, pour tout réel \(x\), la fonction \(y\longmapsto\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt\) tend vers \(f(x)\) en \(0^+\).
Montrer plus précisément que, pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que \(\left|\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt-f(x)\right|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(x\in\mathbf{R}\) et tout \(y\in\left]0,\delta\right]\).
[planches/ex1825] polytechnique PSI 2017 Soit \[g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R},\quad u\longmapsto\int_0^{+\infty}{1-e^{-ut}\over t(\sqrt t+1)}\,dt.\]
[planches/ex1825]
Vérifier l’existence de \(g\).
Étudier la dérivabilité de \(g\) et ses variations.
Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(g(u)\sim c\sqrt u\) au voisinage de \(0^+\).
[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)
[oraux/ex5754]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.
Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
[concours/ex3292]
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