[planches/ex5420] centrale PSI 2019 Pour \(x\in\mathbf{R}_+\), on note \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\sqrt x}e^{-t^2}\,dt\) et \(G(x)=\displaystyle\int_0^1{e^{-(t^2+1)x}\over t^2+1}\,dt\).
[planches/ex5420]
Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) existe.
Montrer que \(G\) existe et qu’elle est de classe \(\mathscr{C}^1\). Calculer \(G(0)\).
Montrer que pour \(x>0\), \(G'(x)=-2F(x)F'(x)\) et en déduire la valeur de \(I\).
[planches/ex0781] polytechnique, ens cachan PSI 2015 Soient \[f:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^xe^{-t^2}\,dt\quad\hbox{et}\quad g:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^1{e^{-(t^2+1)x^2}\over1+t^2}\,dt.\]
[planches/ex0781]
Calculer \(g(0)\) et montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0\).
Montrer que \(g\) est dérivable et calculer \(g'\) en fonction de \(f\) et \(f'\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\).
Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) continue par morceaux et bornée. On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) et pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(\varphi_n(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)e^{-n^2(x-y)^2}\,dy\). Montrer que \(\varphi_n\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\) et que la suite \((\varphi_n)_{n\in\mathbf{N}}\) converge simplement vers \(\varphi\).
[oraux/ex2456] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^x{e^{-x^2(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(F_1(x)=-2x\displaystyle\int_0^1e^{-x^2(1+t^2)}\,dt\).
[oraux/ex2456]
Exprimer \(F_1\) en fonction de \(f\) et de \(f'\). En déduire que \(F_1\) est de classe \(C^\infty\).
Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(\displaystyle\int_0^uF_1(x)\,dx=F(u)-\pi/4\).
Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(F(u)+f(u)^2=K\) où \(K\) est une constante à déterminer.
Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\). En déduire la limite \(\ell\) de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0734] ccp PSI 2013
[planches/ex0734]
Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) est convergente.
Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^1{e^{-x(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(G:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\). Montrer que \(F+G^2\) est constante. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(F\). En déduire la valeur de \(I\).
[examen/ex4240] ccinp PSI 2025 Le but est de calculer l’intégrale \(A=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u\).
[examen/ex4240]
On pose \(\psi:x\in\mathbf{R}^+\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(\psi\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\).
Montrer que \(\psi\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Calculer \(\psi(0)\) et déterminer la limite de \(\psi\) en \(+\infty\).
Montrer que, pour tout \(x>0\), \(\psi'(x)=-A\displaystyle\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\).
Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\psi'(x)\,\mathrm{d}x=-2A^2\). En déduire la valeur de \(A\).
[planches/ex8906] imt MP 2022 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex8906]
Étudier le domaine de définition, puis la continuité de \(F\).
Déterminer un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
[planches/ex0722] tpe MP 2013 Soit \(\Phi:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0722]
Domaine de définition ? Limites aux bornes ?
Donner un équivalent en \(+\infty\).
[planches/ex8904] imt MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex8904]
Quel est l’ensemble de définition de \(f\) ?
Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over x}+o\left({1\over x}\right)\).
[planches/ex0789] mines PSI 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\). On rappelle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt={\sqrt\pi\over2}\).
[planches/ex0789]
Donner le domaine de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Donner un équivalent simple de \(f'\) au voisinage de \(+\infty\).
Calculer \(f-f'\).
En déduire un développement asymptotique de \(f\) à deux termes au voisinage de \(+\infty\).
[oraux/ex2689] mines PSI 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\).
[oraux/ex2689]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex0787] mines MP 2015 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0787]
Donner le domaine de définition de \(F\) dans \(\mathbf{R}\), puis montrer que \(F\) est continue sur ce domaine. Étudier la monotonie de \(F\).
Trouver la limite de \(F\) en \(+\infty\) et donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
Trouver la limite de \(F\) en 0 et donner un équivalent de \(F\) en 0.
Étudier la convexité de \(F\).
[oraux/ex2373] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x^2}\,dt\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue ? Est-elle intégrable en 0 et en \(+\infty\) ?
[oraux/ex2373]
[examen/ex3897] centrale MP 2025 Soit \(f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t+x}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex3897]
Rappeler le théorème de convergence dominée.
Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
Trouver la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\).
Montrer l’existence de \(a_0\), … , \(a_n\in\mathbf{Z}\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop{=}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k}{x^k}+o\left(\frac{1}{x^n}\right)\).
[planches/ex8807] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\).
[planches/ex8807]
Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).
La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?
Étudier les variations de \(f\) sur \(D\).
Déterminer un équivalent de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
[concours/ex2984] tpe, int, iie M 1994 Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow0}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a+\left(\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+a}\,dt\right)\!\right)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,dt\).
[concours/ex2984]
[oraux/ex2467] mines PSI 2010 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over1+tx}\,dt\).
[oraux/ex2467]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(D\). Déterminer ses variations, \(f(0)\) et la limite de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2685] mines MP 2011 Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Limites et équivalents de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\) ?
[oraux/ex2685]
[oraux/ex2470] mines PC 2010 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[oraux/ex2470]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\) et de classe \(C^\infty\) sur cet intervalle.
Déterminer un équivalent de \(F\) en 0 et en \(+\infty\).
[concours/ex2225] polytechnique M 1995 Développement asymptotique en \(+\infty\) de \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[concours/ex2225]
[concours/ex1516] centrale MP 1998 Domaine de définition de \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). \(f\) est-elle continue ? de classe \(C^1\) ? Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex1516]
[oraux/ex2307] mines PC 2005
[oraux/ex2307]
Domaine de définition de \(f\) telle que, pour tout \(x\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,dt\over x^2+t}\) ?
La fonction \(f\) est-elle continue ?
Montrer qu’en \(+\infty\) : \(f(x)\sim1/x^2\).
[planches/ex0893] centrale PC 2016 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Donner les limites de \(f\) en \(+\infty\) puis en 0.
[planches/ex0893]
[planches/ex8104] mines MP 2022 Limite et équivalent simple en \(0^+\) de \(x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex8104]
[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)
[planches/ex7490]
Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).
Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).
Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).
On admet que \(F\) est continue sur \(D\).
Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).
Représenter graphiquement la fonction \(F\).
Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.
En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.
Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.
[planches/ex0725] ccp PSI 2013
[planches/ex0725]
Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).
Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).
Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).
Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).
Justifier l’existence de \(S\).
Calculer \(\varphi(1/2)\).
En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).
[oraux/ex2304] mines MP 2005 Soit \(\Omega=\{z\in\mathbf{C},\ \mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z>-1\}\). Si \(z\in\Omega\), soit \(f(z)=\displaystyle\int_0^1{t^z\over1+t}\,dt\).
[oraux/ex2304]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\Omega\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-1\).
Donner un équivalent de \(f(z)\) quand \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z\rightarrow+\infty\).
[planches/ex0909] PC 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta)\,d\theta\).
[planches/ex0909]
Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)+\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/x)=\pi/2\).
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer son sens de variations.
Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\pi^2/4\). En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0821] centrale PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(t))\,dt\).
[planches/ex0821]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité, la dérivabilité.
La fonction \(f\) est-elle monotone ?
Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
Calculer \(f'(x)\).
[planches/ex0690] mines MP 2013
[planches/ex0690]
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x/t)\over1+t^2}\,dt=\int_0^x{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\over t^2-1}\,dt\).
En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\over t^2-1}\,dt\).
[oraux/ex2323] ccp PSI 2005 On pose, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).
[oraux/ex2323]
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f(x)\).
La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\mathbf{R}\) ?
[planches/ex7271] centrale PC 2021 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex7271]
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).
Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Trouver la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[examen/ex3421] mines MP 2025 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Soient \(N_f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\left(\displaystyle\int_0^1f(t)^x\,\mathrm{d}t\right)^{\!1/x}\).
[examen/ex3421]
Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Déterminer la limite de \(N_f\) en \(+\infty\).
Déterminer la limite de \(N_f\) en \(0^+\).
[examen/ex2162] mines PC 2024 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Pour \(x>0\), on pose \(N_f(x)=\displaystyle\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t\right)^{1/x}\).
[examen/ex2162]
Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).
Déterminer la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t-1\right)\) lorsque \(x\rightarrow 0^+\).
Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to 0\).
[oraux/ex2481] centrale PSI 2010 (avec Maple)
[oraux/ex2481]
Maple
Soit \(F:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(xt)\over t^2}e^{-t}\,dt\).
Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbf{R}\).
En déduire une expression de \(F(x)\).
Montrer que \(F(x)/x\rightarrow\pi/2\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[examen/ex4005] centrale PC 2025 Pour \(x\in\mathbf{R}^+\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{t^2}\,e^{-xt}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex4005]
Montrer que \(f\) est définie, continue sur \(\left[0,+\infty\right[\), de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Convergence et calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}{t}\,\mathrm{d}t\).
[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0719]
Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).
Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).
Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).
[examen/ex1965]
Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.
Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.
Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).
[planches/ex0852] mines PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0852]
Trouver le domaine de définition \(D\) de \(f\) et sa classe de dérivabilité.
Trouver des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).
[planches/ex0753] mines MP 2014 Pour \(x\in\left]0,1\right[\), on pose \[F(x)=\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}.\]
[planches/ex0753]
Montrer que \(F\) est bien définie, que \(F\) est continue.
Montrer : \(\forall x\in\left]0,1\right[\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{t^x+t^{1-x}\over t(1+t)}\). En déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\left]0,1\right[}F\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0^+}F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1^-}F(x)\).
Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(1^-\).
[oraux/ex2701] centrale MP 2011 Soit \(f:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^a(1+t)}\).
[oraux/ex2701]
Donner un équivalent de \(f\) en 0.
Montrer que le graphe de \(f\) admet la droite d’équation \(x=1/2\) comme axe de symétrie.
Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.
Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{a\in\left]0,1\right[}f(a)\).
[planches/ex2125] mines MP 2017
[planches/ex2125]
Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).
Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.
[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0850]
Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).
Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).
Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).
[oraux/ex5375] mines MP 2012
[oraux/ex5375]
Déterminer le domaine de définition réel de \(f:x\mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\,dt}{t^x (1+t)}\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\) et en \(1^-\).
[concours/ex5719] mines MP 2007 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).
[concours/ex5719]
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son domaine de définition.
Quelle est la limite de \(f\) en \(0^+\) ?
Montrer que \(x=1/2\) est un axe de symétrie du graphe de \(f\).
[planches/ex8577] centrale MP 2022 (avec Python)
[planches/ex8577]
Python
Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
Tracer le graphe de \(x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi x)f(x)\) sur \(D\). Conjecture ?
Conjecturer la nature et la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+23x+x^2)\over x\sqrt x}\,dx\).
Montrer, pour \(x\in\left]0,1\right[\), que \(f(1-x)=f(x)\).
Pour quelles valeurs de \(k\in\mathbf{N}^*\) l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over x^{1+1/k}}\,dx\) est-elle convergente ? Calculer cette intégrale.
Démontrer la conjecture de 2.
[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).
[examen/ex4246]
Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).
Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).
Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).
[planches/ex0696] mines MP 2013 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(1+t)}\,dt\).
[planches/ex0696]
Donner le domaine de définition \(D\) de \(F\) (dans \(\mathbf{R}\)).
Étudier la continuité de \(F\) sur \(D\).
Étudier la limite de \(F\) en 0 et en \(+\infty\) (sic).
Donner un équivalent de \(F\) en 0 et en 1.
[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).
[examen/ex3810]
Domaine de définition de \(J\) ?
Étudier la continuité de \(J\).
Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).
Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).
Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).
A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?
Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).
[examen/ex0995] hec S 2024
[examen/ex0995]
Question de cours : énoncer les théorèmes de comparaison pour les intégrales généralisées.
Soit \(f\) la fonction donnée par : \[f(x)=\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt.\]
Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est positive et préciser sa monotonie.
En déduire que \(f\) admet une limite à droite et à gauche en 0.
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\) est convergente et que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+\quad0\leqslant{\pi\over2}-f(x)\leqslant-x\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]
En déduire la limite de \(f\) à droite en 0.
Former une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).
On pose pour \(x>0\) : \[\varphi(x)=xf(x)f(x-1).\] Montrer que : \[\forall x>0\quad\varphi(x+1)=\varphi(x).\] Calculer \(\varphi(n)\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).
Déterminer un équivalent à \(f\) en \(-1^+\).
[planches/ex2878] hec S 2018
[planches/ex2878]
Question de cours : égalité et inégalités des accroissements finis.
Justifier, pour tout \(x\leqslant 0\), l’inégalité : \(|e^x-1|\leqslant|x|\).
Justifier la convergence absolue de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
On note \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,dt\).
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et justifier que \(f\) est monotone.
Justifier, pour tout \(x\in D_f\), l’égalité : \[f(x)={x+2\over x+1}f(x+2).\]
Établir, pour tout \((x,y)\in{\mathbf{R}_+^*}^2\), l’inégalité : \[\left|\vphantom{|_|}f(x)-f(y)\right|\leqslant|x-y|\int_0^{\pi/2}|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)|\,dt.\]
Démontrer que \(f\) est continue.
Trouver la limite et un équivalent simple de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1_+\).
Justifier, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’inégalité : \[f(n)\leqslant{1\over\sqrt[3]n}+{\pi\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^n\left({1\over\sqrt[3]n}\right).\]
En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers l’infini.
Vous pouvez produire plusieurs PDF en répartissant les exercices choisis