[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).
[examen/ex4246]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).
Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).
Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).
Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).
[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0850]
Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).
Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).
Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).
[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).
[examen/ex1965]
Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.
Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.
Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).
[oraux/ex5375] mines MP 2012
[oraux/ex5375]
Déterminer le domaine de définition réel de \(f:x\mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\,dt}{t^x (1+t)}\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\) et en \(1^-\).
[planches/ex5117] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(t+1)}\,dt\).
[planches/ex5117]
Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\) puis montrer que \(f\) est continue sur \(D\).
Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(1-x)\) pour \(x\in D\).
Déterminer les limites et des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).
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