Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5117] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(t+1)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\) puis montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

2. Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(1-x)\) pour \(x\in D\).

3. Déterminer les limites et des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).

[planches/ex0696] mines MP 2013 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(1+t)}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition \(D\) de \(F\) (dans \(\mathbf{R}\)).

2. Étudier la continuité de \(F\) sur \(D\).

3. Étudier la limite de \(F\) en 0 et en \(+\infty\) (sic).

4. Donner un équivalent de \(F\) en 0 et en 1.

[planches/ex0753] mines MP 2014 Pour \(x\in\left]0,1\right[\), on pose \[F(x)=\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}.\]

1. Montrer que \(F\) est bien définie, que \(F\) est continue.

2. Montrer : \(\forall x\in\left]0,1\right[\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{t^x+t^{1-x}\over t(1+t)}\). En déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\left]0,1\right[}F\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0^+}F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1^-}F(x)\).

4. Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(1^-\).

[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.

4. Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).