Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2307] mines PC 2005

1. Domaine de définition de \(f\) telle que, pour tout \(x\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,dt\over x^2+t}\) ?

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Montrer qu’en \(+\infty\) : \(f(x)\sim1/x^2\).

[planches/ex8104] mines MP 2022 Limite et équivalent simple en \(0^+\) de \(x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

[examen/ex3897] centrale MP 2025 Soit \(f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t+x}\,\mathrm{d}t\).

1. Rappeler le théorème de convergence dominée.

2. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

3. Trouver la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Soit \(n \in \mathbb{N}\).

   Montrer l’existence de \(a_0\), … , \(a_n\in\mathbf{Z}\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop{=}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k}{x^k}+o\left(\frac{1}{x^n}\right)\).

[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)

1. 1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).

   2. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).

   3. Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).

   On admet que \(F\) est continue sur \(D\).

2. 1. Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).

   3. Représenter graphiquement la fonction \(F\).

3. 1. Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.

   2. En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.

4. Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.

[planches/ex0725] ccp PSI 2013

1. Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).

   1. Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).

   2. Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).

2. Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).

   1. Justifier l’existence de \(S\).

   2. Calculer \(\varphi(1/2)\).

   3. En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).