Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[oraux/ex2406] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{e^{-t^2}\over t}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable ?

2. Montrer que \(e^{x^2}f(x)\) est bornée sur \(\left[1,+\infty\right[\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\).

4. L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est-elle convergente ?

[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).

1. Déterminer \(I\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).

3. Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.

4. Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

[planches/ex0845] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose, sous réserve d’existence, \[f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt.\]

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex7789] polytechnique MP 2022 On pose \(g:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over\pi(1+x^2)}\). Pour \(y\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(g_y:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over y}g(x/y)\).

Soit \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{C}\) continue, nulle en dehors d’un segment.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), la fonction \(y\longmapsto\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt\) tend vers \(f(x)\) en \(0^+\).

2. Montrer plus précisément que, pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que \(\left|\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt-f(x)\right|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(x\in\mathbf{R}\) et tout \(y\in\left]0,\delta\right]\).