Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5374] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto \displaystyle\frac12\,\int_0^{\pi/2}e^{-x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,\,dt\).

1. Définition, régularité, variations, limites aux bornes.

2. Existence et unicité d’un point fixe.

3. Étude des suites réelles vérifiant \(\forall n\in\mathbf{N}\,,\;x_{n+1}=f(x_n)\).

[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.

[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)

Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

1. Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).

2. Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).

3. Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.

4. Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).

5. Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).

[examen/ex4351] centrale PC 2025 (avec Python)

Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie.

2. Montrer que \(f\) est continue.

3. Montrer que \(f\) a pour limite 0 en \(+\infty\).

4. Une fonction calculant \(f\) est fournie dans Python. Afficher le graphe de \(f\) sur \([0,1;10]\). Conjecturer la monotonie et la limite de \(f\) en 0. Afficher le graphe sur \([10,100]\) de \(xf(x)\) et de \((x+1)f(x)\). Conjecturer un encadrement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). Tracer \(x\mapsto\displaystyle\frac{f(x)}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\) et conjecturer un équivalent en 0.

5. Démontrer la monotonie et la limite en 0 conjecturées à la question précédente.

6. Montrer l’équivalent en \(+\infty\).