Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).

1. Préciser le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

3. En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).

4. Étudier la monotonie de \(f\).

5. Montrer que \(f\) est continue.

6. Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).

7. Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.

[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.

4. Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).

[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?

On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).

[planches/ex0838] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1x^{tx}\,dx\). Donner un développement limité à l’ordre 2 de \(f\) en 0.

[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).

1. Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

2. 1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

      Indication : Intégrer par parties.

   2. En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.

3. Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).

4. Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

5. 1. Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?

   2. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.