Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0253] mines MP 1996 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(x^2+t^2)(1+t^2)}}\).

1. Étudier la définition et la continuité de \(f\).

2. Étudier la limite, puis un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).

[oraux/ex2431] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t)\,dt\).

1. Tracer le graphe de \(f\).

2. Étudier \(f\) : domaine de définition, continuité, dérivabilité, variations, limites.

3. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\alpha\).

4. Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f\) au voisinage de 0.

[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009

1. Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).

2. Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).

[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.

2. Montrer que \(F\) est continue.

3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

4. Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).

[concours/ex0245] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-t^2x^2)}}\). Préciser le domaine de définition de \(f\) et étudier sa continuité. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1^-\).