Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5289] mines PC 2019 On pose \(G:(x,y)\longmapsto\displaystyle\int_0^y{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).

1. Montrer que \(G\) est définie sur \((\mathbf{R}_+^*)^2\).

2. Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(y\longmapsto G(x,y)\) admet une limite finie, notée \(G(x)\), quand \(y\) tend vers \(+\infty\).

3. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(G(n,y)=\displaystyle{1\over n}\left(\int_0^n{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt-\int_y^{y+n}{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt\right)\).

4. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n)-H(n-1)-\displaystyle{1\over2n}\) converge et en déduire un équivalent de \(G(n)\).

[concours/ex0256] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-E(t)\over t(t+x)}\,dt\). Domaine de définition de \(f\) ? Limites et équivalents en \(0\) et en \(+\infty\).

[oraux/ex2299] mines MP 2005 Pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), soit : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[concours/ex0253] mines MP 1996 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(x^2+t^2)(1+t^2)}}\).

1. Étudier la définition et la continuité de \(f\).

2. Étudier la limite, puis un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).

[examen/ex3417] mines MP 2025 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}\). Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).