Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.

2. Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex2119] mines MP 2017 Pour \(x>0\), on pose : \[f(x)=\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]

1. Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

2. Exprimer \(f\) sous forme de somme et montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({n\,!\,e^n\over n^n}\right)\).

3. Trouver un équivalent de \(f(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) puis de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?

[examen/ex0694] ccinp MP 2023 On pose \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(x+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(G\) est bien définie pour \(x>0\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(n+t)}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\left(\int_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t-\int_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t\right)\).

3. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n+1)-H(n)-\displaystyle\frac{1}{2n}\) converge. En déduire un équivalent de \(G(n)\).

[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).

1. Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).

2. Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).

1. Trouver le domaine de définition de \(F\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).