Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0752] mines MP 2014 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\). Étudier la continuité, le caractère \(\mathscr{C}^1\), les variations de \(F\) sur son domaine de définition.

2. Donner un équivalent de \(F\) aux bornes de ce domaine.

[oraux/ex2265] polytechnique 2004 Soit, pour \(x>0\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over 1+t+t^{x+1}}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Déterminer la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

3. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[fct.reelles/ex4719] On pose \(F(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition et étudier les variations de la fonction \(F\).

2. Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

3. En déduire un équivalent de \(F\) au voisinage de 0, puis de \(+\infty\).

[examen/ex3794] mines PC 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(F\) est continue et décroissante sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

3. Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

   Indication : Calculer \(F(x)+F(x+1)\).