Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex4719] On pose \(F(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition et étudier les variations de la fonction \(F\).

2. Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

3. En déduire un équivalent de \(F\) au voisinage de 0, puis de \(+\infty\).

[concours/ex1095] polytechnique MP 1998 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{x+1}}\). Définition, continuité, dérivabilité, limites en \(0\) et \(+\infty\), équivalent en \(0\) ?

[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).

2. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[planches/ex0752] mines MP 2014 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\). Étudier la continuité, le caractère \(\mathscr{C}^1\), les variations de \(F\) sur son domaine de définition.

2. Donner un équivalent de \(F\) aux bornes de ce domaine.