Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2250] mines 2003

1. Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).

2. On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).

   Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).

3. Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?

4. Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).

[examen/ex0296] mines PC 2023 Soit \(\alpha>0\). On définit \(I(\alpha)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1-t^\alpha\right)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de convergence de \(I(\alpha)\).

2. Écrire \(I(\alpha)\) comme la somme d’une série.

3. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers 0.

4. Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0785] polytechnique, espci PC 2015 Soit \[f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt.\] Montrer que \(f\) est bien définie. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[concours/ex1095] polytechnique MP 1998 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{x+1}}\). Définition, continuité, dérivabilité, limites en \(0\) et \(+\infty\), équivalent en \(0\) ?

[fct.reelles/ex4719] On pose \(F(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition et étudier les variations de la fonction \(F\).

2. Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

3. En déduire un équivalent de \(F\) au voisinage de 0, puis de \(+\infty\).