Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2878] hec S 2018

1. 1. Question de cours : égalité et inégalités des accroissements finis.

   2. Justifier, pour tout \(x\leqslant 0\), l’inégalité : \(|e^x-1|\leqslant|x|\).

2. Justifier la convergence absolue de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).

   On note \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,dt\).

3. 1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et justifier que \(f\) est monotone.

   2. Justifier, pour tout \(x\in D_f\), l’égalité : \[f(x)={x+2\over x+1}f(x+2).\]

4. 1. Établir, pour tout \((x,y)\in{\mathbf{R}_+^*}^2\), l’inégalité : \[\left|\vphantom{|_|}f(x)-f(y)\right|\leqslant|x-y|\int_0^{\pi/2}|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)|\,dt.\]

   2. Démontrer que \(f\) est continue.

   3. Trouver la limite et un équivalent simple de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1_+\).

5. 1. Justifier, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’inégalité : \[f(n)\leqslant{1\over\sqrt[3]n}+{\pi\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^n\left({1\over\sqrt[3]n}\right).\]

   2. En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers l’infini.

[planches/ex8802] centrale PC 2022 Soit \(f\) la fonction donnée par \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier ses variations.

3. Trouver une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

4. Pour \(x>0\), on pose \(\varphi(x)=xf(x)f(x-1)\). Montrer que, pour \(x>0\), \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1\).

[concours/ex3293] ens lyon M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de la fonction définie par \(\displaystyle\sum\limits_0^\infty e^{-n^2x}\).

[ev.normes/ex0151] En utilisant la méthode de Laplace, donner un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), des expressions \[g(x)=\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\quad\hbox{et}\quad h(x)=\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\,.\]

[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

4. Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).