Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6819] mines MP 2021 On pose, pour \(x\in\left]0,1\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(t+1)}\). Montrer que \(f\) est bien définie. Trouver des équivalents simples de \(f\) au voisinage de 0 et de 1.

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).

[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).

1. Domaine de définition de \(J\) ?

2. Étudier la continuité de \(J\).

3. Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).

4. Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).

5. Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).

6. A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?

7. Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

4. Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).

[ev.normes/ex0151] En utilisant la méthode de Laplace, donner un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), des expressions \[g(x)=\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\quad\hbox{et}\quad h(x)=\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\,.\]