Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).

[planches/ex4527] ens paris MP 2019 Déterminer la limite de \(\displaystyle{1\over A}\int_1^AA^{1/x}\,dx\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex5381] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\,dt\). Définition ? Limite en \(+\infty\) ? Dérivabilité ? Équivalent en \(+\infty\) ? Que vaut \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\,dx\) ?

[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

[oraux/ex2385] centrale MP 2008

1. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?

2. Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.

3. Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?

[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).

1. Déterminer \(I\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).

3. Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.

4. Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

[concours/ex3066] polytechnique M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(a\) tend vers \(0^+\), de : \[I_a=\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^4)(t^2+a^2)}.\]

[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)

Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

1. Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).

2. Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).

3. Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.

4. Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).

5. Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).

[planches/ex1908] polytechnique, espci PC 2017 Soit \[F:a\in\mathbf{R}_+^*\longmapsto\int_{-a}^a{dx\over\sqrt{(1+x^2)(a^2-x^2)}}.\]

1. Montrer que \(F\) est bien définie.

2. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).

3. Déterminer la limite \(\ell\) de \(F\) en \(0^+\), puis un équivalent de \(F-\ell\).

[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[oraux/ex5522] mines PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\).

2. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes.

[concours/ex0682] polytechnique PC 1997 Soit \(\varphi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty} {tx^2\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\over\left(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\right)^2}\,dx\). Étudier \(\varphi\) et trouver un équivalent quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0744] polytechnique MP 2014 Donner un équivalent, lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\), de : \[\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(-\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x\right)\,dx.\]

[concours/ex3644] mines M 1992 Trouver un équivalent de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,t^x\,dt\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0691] mines MP 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t\over1+t^2}e^{-xt}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition réel de \(F\).

2. Étudier la continuité et les variations de \(F\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\) et quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).

Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).

[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).

[planches/ex0845] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose, sous réserve d’existence, \[f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt.\]

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex4910] ens lyon MP 2012 Soient \(E:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto \displaystyle\int_x ^{+\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy\) et \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^x \frac{1-e^{-y}}{y} \,dy\).

1. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(E(x) -F(x)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x +\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-y}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits y \,dy\).

2. Soit \(s>0\). Montrer qu’il existe un unique réel \(>0\) que l’on notera \(x(s)\) tel que \(E\left(x(s)\right)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1-e^{-s})\).

3. Donner un développement limité à deux termes de \(x(s)\) quand \(s\rightarrow 0^+\).