Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3799] mines PC 2025 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3+x^3}\).

1. Domaine de définition ?

2. Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.

3. Calculer \(f(0)\).

[oraux/ex2697] mines PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.

[planches/ex8458] mines PC 2022

1. Montrer que la fonction \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\) est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\), et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).

2. Montrer que le graphe de \(f\) possède une tangente verticale au point d’abscisse 1.

[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Représenter le graphe de \(f\).

[examen/ex4242] saint-cyr PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(\mathscr{D}_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue puis de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathscr{D}_f\).

3. Conjecturer à l’aide de Python la valeur de \(f(2)\). Prouver cette conjecture.

4. Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur son domaine.

5. Calculer les limites de \(f\) en \(1^+\) et en \(+\infty\).

[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?

On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).

[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).

1. Préciser le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

3. En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).

4. Étudier la monotonie de \(f\).

5. Montrer que \(f\) est continue.

6. Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).

7. Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.

[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.

4. Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).

[concours/ex1177] polytechnique PC 1998 Soit \(\alpha>0\) et \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^\alpha t+x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^\alpha t\right)^{1/\alpha}}\).

Déterminer le domaine de définition de \(I(x)\).

Donner un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^+\).

[oraux/ex5380] mines MP 2012 Soient \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac1{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\) et \(J:x\mapsto \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).

1. Déterminer la limite en 0 de \(I(x) -J(x)\).

2. Donner une développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(I(x)\) en \(0\).

[concours/ex1510] centrale PC 1998 On pose \(I(a)=\displaystyle\int_0^1{dt\over t^3+a^3}\).

1. Étudier la limite de \(I(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\).

2. Trouver un équivalent de \(I(a)\).

[concours/ex1525] centrale MP 1998 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Préciser l’ensemble de définition (réel) et étudier la continuité de \(f\).

2. Montrer que pour tout \(x\in\left]-2,+\infty\right[\), \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\displaystyle{1\over n(n+x+1)^2}\). Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex0867] ens PC 1997 Équivalents en \(0\) et en \(+\infty\) de \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2xt\over t^2(1+t^2)}\,dt\).

[planches/ex2577] centrale PSI 2017 (avec Python)

1. On note \(L=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).

   1. Montrer que cette intégrale est convergente.

   2. Écrire une fonction donnant une valeur approchée de \(L\). Conjecturer la valeur exacte.

   3. Calculer \(L\).

2. On note, pour \(x>0\), \(J(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).

   1. Montrer que \(J\) est continue sur \(\mathbf{R}_+^*\).

   2. Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(J(x)\). Donner les valeurs obtenues pour \(x\in\{1/2,1,3,10\}\).

3. On note, pour \(x>0\), \(K(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).

   1. Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(K(x)\).

   2. Avec Python, visualiser l’existence de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}(J(x)-K(x))\) et conjecturer la valeur de cette limite.

   3. Démontrer cette conjecture.

[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]

1. Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).

2. Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).

[concours/ex3769] centrale M 1992 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Domaine de définition, monotonie ? Calculer \[I_n=\int_1^{+\infty}{dt\over t^{n+1}\sqrt{t-1}}\] et montrer que \(f\) est développable en série entière.

Indication : on pourra écrire \[{1\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}=\sum\limits_{p=0}^{+\infty}u_p(t)x^p,\] et montrer la décroissance de la suite \((u_p(t))\).

[concours/ex3211] mines M 1993 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\displaystyle\int^\varepsilon_{\varepsilon^2} {du\over\sqrt{(u+1)u(\varepsilon+\varepsilon^2-u)}}\).

[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).

1. Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

2. 1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

      Indication : Intégrer par parties.

   2. En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.

3. Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).

4. Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

5. 1. Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?

   2. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.

[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).

1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).

2. Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.