Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3658] mines M 1992 Étude de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\). Domaine de définition, dérivabilité, montrer que \[\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1}f'(x)=+\infty.\]

[examen/ex4242] saint-cyr PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(\mathscr{D}_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue puis de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathscr{D}_f\).

3. Conjecturer à l’aide de Python la valeur de \(f(2)\). Prouver cette conjecture.

4. Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur son domaine.

5. Calculer les limites de \(f\) en \(1^+\) et en \(+\infty\).

[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.

[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Représenter le graphe de \(f\).

[oraux/ex2421] mines PC 2009 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\). La fonction \(F\) est-elle continue ?

2. Déterminer un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[planches/ex8460] mines PC 2022

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).

2. Montrer que \(f\) est continue.

3. Calculer \(f(0)\).

[concours/ex0867] ens PC 1997 Équivalents en \(0\) et en \(+\infty\) de \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2xt\over t^2(1+t^2)}\,dt\).

[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).

1. Préciser le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

3. En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).

4. Étudier la monotonie de \(f\).

5. Montrer que \(f\) est continue.

6. Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).

7. Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.

[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.

4. Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2420] mines PC 2009 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^1{x^a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}\,dx\).

1. Justifier l’existence de \(F\).

2. Donner un équivalent de \(F(a)\) quand \(a\rightarrow+\infty\).

[concours/ex3769] centrale M 1992 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Domaine de définition, monotonie ? Calculer \[I_n=\int_1^{+\infty}{dt\over t^{n+1}\sqrt{t-1}}\] et montrer que \(f\) est développable en série entière.

Indication : on pourra écrire \[{1\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}=\sum\limits_{p=0}^{+\infty}u_p(t)x^p,\] et montrer la décroissance de la suite \((u_p(t))\).

[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]

1. Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).

2. Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).

[concours/ex1525] centrale MP 1998 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Préciser l’ensemble de définition (réel) et étudier la continuité de \(f\).

2. Montrer que pour tout \(x\in\left]-2,+\infty\right[\), \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\displaystyle{1\over n(n+x+1)^2}\). Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?

On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).

[planches/ex0838] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1x^{tx}\,dx\). Donner un développement limité à l’ordre 2 de \(f\) en 0.

[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).

1. Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

2. 1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

      Indication : Intégrer par parties.

   2. En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.

3. Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).

4. Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

5. 1. Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?

   2. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.

[oraux/ex5380] mines MP 2012 Soient \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac1{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\) et \(J:x\mapsto \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).

1. Déterminer la limite en 0 de \(I(x) -J(x)\).

2. Donner une développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(I(x)\) en \(0\).

[concours/ex2610] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{tx}\,dt\). Définition, continuité, limite en \(+\infty\).

[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).

1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).

2. Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.

[planches/ex7407] ccinp PC 2021

1. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.

2. On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).

   1. Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?

   2. Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.

3. Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).

4. Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).

5. Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).

6. En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.