Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).

1. Trouver le domaine de définition de \(F\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex2119] mines MP 2017 Pour \(x>0\), on pose : \[f(x)=\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]

1. Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

2. Exprimer \(f\) sous forme de somme et montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({n\,!\,e^n\over n^n}\right)\).

3. Trouver un équivalent de \(f(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) puis de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?

[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).

1. Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).

2. Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[concours/ex1295] mines MP 1998 Pour \(x>0\) on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(1+t^2)(t^2+x)}}\). Existence et continuité ? Limites et équivalents en \(0\) et \(+\infty\) ?

[examen/ex2901] ens PC 2025 Pour \(a>0\), on pose \(f(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+a^2x^2}}\).

1. Justifier la définition de \(f(a)\).

2. Montrer que \(f(a)\mathrel{\mathop{=}\limits_{a\to+\infty}}\mathrm{O}\left(\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a}{a}\right)\).

[oraux/ex2431] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t)\,dt\).

1. Tracer le graphe de \(f\).

2. Étudier \(f\) : domaine de définition, continuité, dérivabilité, variations, limites.

3. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\alpha\).

4. Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f\) au voisinage de 0.

[examen/ex3417] mines MP 2025 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}\). Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

[concours/ex0245] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-t^2x^2)}}\). Préciser le domaine de définition de \(f\) et étudier sa continuité. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1^-\).

[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.

2. Montrer que \(F\) est continue.

3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

4. Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).

[examen/ex1376] polytechnique MP 2024 Déterminer un équivalent en \(1^-\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}\mathrm{d} t\).

[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009

1. Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).

2. Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).

[planches/ex8800] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+xt)\over t+t^3}\,dt\).

1. Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\) sur \(D\).

3. Déterminer les variations de \(f\) sur \(D\).

4. Déterminer un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.

5. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[examen/ex2269] centrale MP 2024

1. Rappeler la formule de Stirling.

2. Donner un équivalent de \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)^{2n}\,\mathrm{d}x\) quand \(n\to+\infty\).

3. On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-x^2t^2)}}\).

   1. Ensemble de définition ?

   2. Développer \(F\) en série entière au voisinage de \(0\).

   3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers 1.

[concours/ex5831] mines PC 2007 Soit \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\). Déterminer le domaine de définition, étudier la continuité et faire une étude aux bornes.

[planches/ex8460] mines PC 2022

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).

2. Montrer que \(f\) est continue.

3. Calculer \(f(0)\).

[planches/ex8451] mines PC 2022 On pose lorsque cela a un sens \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\). Continuité. Limites aux bornes du domaine de définition.

2. On note \(\lambda\) la limite de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer un équivalent de \(\lambda-f(x)\) lorsque \(x\longrightarrow+\infty\).

[planches/ex0905] imt PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Calculer \(f(0)\).

   Indication : On pourra poser \(u=1/t\).

3. Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2697] mines PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.

[planches/ex8458] mines PC 2022

1. Montrer que la fonction \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\) est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\), et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).

2. Montrer que le graphe de \(f\) possède une tangente verticale au point d’abscisse 1.