Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3808] mines PC 2025 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie.

2. Écrire \(f\) comme somme d’une série de fonctions.

3. Déterminer la limite de \(f\) en \(0^+\).

[planches/ex6915] mines PSI 2021 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est correctement définie.

2. Exprimer \(f(x)\) sous forme de la somme d’une série de fonctions.

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). On admettra : \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over6}\).

[examen/ex0296] mines PC 2023 Soit \(\alpha>0\). On définit \(I(\alpha)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1-t^\alpha\right)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de convergence de \(I(\alpha)\).

2. Écrire \(I(\alpha)\) comme la somme d’une série.

3. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers 0.

4. Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Justifier la définition de \(f\).

2. Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.

3. Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).

[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)

On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).

3. Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.

[oraux/ex2250] mines 2003

1. Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).

2. On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).

   Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).

3. Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?

4. Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).

[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).

2. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

3. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]

4. Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).

5. Tracer le graphe de \(f\).

6. Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).

2. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).

[planches/ex0752] mines MP 2014 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\). Étudier la continuité, le caractère \(\mathscr{C}^1\), les variations de \(F\) sur son domaine de définition.

2. Donner un équivalent de \(F\) aux bornes de ce domaine.

[fct.reelles/ex4719] On pose \(F(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition et étudier les variations de la fonction \(F\).

2. Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

3. En déduire un équivalent de \(F\) au voisinage de 0, puis de \(+\infty\).

[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.

2. Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex8448] mines PC 2022 Pour tout \(x\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

3. Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.

4. Équivalents de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.

[examen/ex3794] mines PC 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(F\) est continue et décroissante sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

3. Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

   Indication : Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

[oraux/ex2265] polytechnique 2004 Soit, pour \(x>0\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over 1+t+t^{x+1}}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Déterminer la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

3. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[planches/ex0785] polytechnique, espci PC 2015 Soit \[f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt.\] Montrer que \(f\) est bien définie. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).

1. Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).

2. Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[planches/ex2119] mines MP 2017 Pour \(x>0\), on pose : \[f(x)=\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]

1. Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

2. Exprimer \(f\) sous forme de somme et montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({n\,!\,e^n\over n^n}\right)\).

3. Trouver un équivalent de \(f(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) puis de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?

[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).

1. Trouver le domaine de définition de \(F\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).

[oraux/ex2299] mines MP 2005 Pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), soit : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).