Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5719] mines MP 2007 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son domaine de définition.

3. Quelle est la limite de \(f\) en \(0^+\) ?

4. Montrer que \(x=1/2\) est un axe de symétrie du graphe de \(f\).

[examen/ex3796] mines PC 2025 Soit \(\displaystyle f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.

3. Montrer que la droite d’équation \(x=\displaystyle\frac 12\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).

4. Montrer que \(f\) est minorée par une valeur que l’on explicitera.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en 0.

[planches/ex0753] mines MP 2014 Pour \(x\in\left]0,1\right[\), on pose \[F(x)=\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}.\]

1. Montrer que \(F\) est bien définie, que \(F\) est continue.

2. Montrer : \(\forall x\in\left]0,1\right[\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{t^x+t^{1-x}\over t(1+t)}\). En déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\left]0,1\right[}F\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0^+}F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1^-}F(x)\).

4. Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(1^-\).

[examen/ex0294] mines PC 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{t^x(1+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\).

2. Déterminer le domaine de dérivabilité de \(F\).

3. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

[planches/ex2125] mines MP 2017

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).

3. Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.

4. Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).

[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).

1. Domaine de définition de \(J\) ?

2. Étudier la continuité de \(J\).

3. Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).

4. Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).

5. Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).

6. A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?

7. Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).

[examen/ex0995] hec S 2024

1. Question de cours : énoncer les théorèmes de comparaison pour les intégrales généralisées.

   Soit \(f\) la fonction donnée par : \[f(x)=\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt.\]

2. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).

3. 1. Montrer que \(f\) est positive et préciser sa monotonie.

   2. En déduire que \(f\) admet une limite à droite et à gauche en 0.

   3. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\) est convergente et que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+\quad0\leqslant{\pi\over2}-f(x)\leqslant-x\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

   4. En déduire la limite de \(f\) à droite en 0.

4. Former une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

5. On pose pour \(x>0\) : \[\varphi(x)=xf(x)f(x-1).\] Montrer que : \[\forall x>0\quad\varphi(x+1)=\varphi(x).\] Calculer \(\varphi(n)\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

6. Déterminer un équivalent à \(f\) en \(-1^+\).

[examen/ex1782] mines MP 2024 Soit \(f\) définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue et décroissante.

3. Pour tout \(x\in D_f\), on pose \(g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)\).

   Montrer que : \(\forall x\in D_f\), \(g(x+1)=g(x)\).

4. Déterminer des équivalents simples de \(f\) aux extrémités de \(D_f\).

[concours/ex1899] ens PC 1999 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\). Montrer que \(g(x)=xf(x)f(x-1)\) est \(1\)-périodique. Montrer que \(f(x)\sim\sqrt{\pi/2x}\) en \(+\infty\). Montrer que \(g\) est continue.

[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

4. Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).

[oraux/ex2276] centrale 2004 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\).

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

2. Montrer que \(f\) est \(\mathscr{C}^\infty\).

3. Relier \(f(x)\) et \(f(x+2)\).

4. Montrer que la suite \(\left(\vphantom{|_|}nf(n)f(n-1)\right)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est constante.

5. Trouver un équivalent de la suite \(\left(\vphantom{|_|}f(n)\right)\).

6. Trouver un équivalent de \(f(x)\) quand le réel \(x\) tend vers \(+\infty\).

7. Trouver un équivalent de \(f(x)\) quand le réel \(x\) tend vers \(-1\).

[planches/ex2878] hec S 2018

1. 1. Question de cours : égalité et inégalités des accroissements finis.

   2. Justifier, pour tout \(x\leqslant 0\), l’inégalité : \(|e^x-1|\leqslant|x|\).

2. Justifier la convergence absolue de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).

   On note \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,dt\).

3. 1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et justifier que \(f\) est monotone.

   2. Justifier, pour tout \(x\in D_f\), l’égalité : \[f(x)={x+2\over x+1}f(x+2).\]

4. 1. Établir, pour tout \((x,y)\in{\mathbf{R}_+^*}^2\), l’inégalité : \[\left|\vphantom{|_|}f(x)-f(y)\right|\leqslant|x-y|\int_0^{\pi/2}|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)|\,dt.\]

   2. Démontrer que \(f\) est continue.

   3. Trouver la limite et un équivalent simple de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1_+\).

5. 1. Justifier, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’inégalité : \[f(n)\leqslant{1\over\sqrt[3]n}+{\pi\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^n\left({1\over\sqrt[3]n}\right).\]

   2. En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers l’infini.

[examen/ex0699] imt MP 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Montrer que \(F(n+2)=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}F(n)\). Calculer \((n+1)F(n)F(n+1)\).

3. Donner un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[ev.normes/ex0151] En utilisant la méthode de Laplace, donner un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), des expressions \[g(x)=\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\quad\hbox{et}\quad h(x)=\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\,.\]

[concours/ex1509] centrale PC 1998

1. Étudier l’intégrabilité sur \(\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) de \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\).

   On pose, si possible, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\) puis \(g(x)=xf(x)f(x-1)\).

2. Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(x+2)\).

3. Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique.

4. Étudier la monotonie de \(x\mapsto\displaystyle{g(x)\over x+1}\).

5. Calculer \(g(n)\) pour \(n\) entier.

6. Montrer que \(g\) admet \(\displaystyle{\pi\over2}\) comme limite en \(+\infty\).

7. Que dire de \(g\) ?

[concours/ex3293] ens lyon M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de la fonction définie par \(\displaystyle\sum\limits_0^\infty e^{-n^2x}\).

[oraux/ex2334] mines MP 2006

1. Pour quels \(x\) de \(\mathbf{R}\) l’intégrale : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\) existe-t-elle ? Dans ce cas, soit \(f(x)\) sa valeur.

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son intervalle de définition.

3. Que dire de \(x\mapsto(x+1)f(x)f(x+1)\) ?

[planches/ex8802] centrale PC 2022 Soit \(f\) la fonction donnée par \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier ses variations.

3. Trouver une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

4. Pour \(x>0\), on pose \(\varphi(x)=xf(x)f(x-1)\). Montrer que, pour \(x>0\), \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1\).