Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1516] centrale MP 1998 Domaine de définition de \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). \(f\) est-elle continue ? de classe \(C^1\) ? Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex0787] mines MP 2015 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(F\) dans \(\mathbf{R}\), puis montrer que \(F\) est continue sur ce domaine. Étudier la monotonie de \(F\).

2. Trouver la limite de \(F\) en \(+\infty\) et donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

3. Trouver la limite de \(F\) en 0 et donner un équivalent de \(F\) en 0.

4. Étudier la convexité de \(F\).

[oraux/ex2685] mines MP 2011 Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Limites et équivalents de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\) ?

[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)

1. 1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).

   2. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).

   3. Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).

   On admet que \(F\) est continue sur \(D\).

2. 1. Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).

   3. Représenter graphiquement la fonction \(F\).

3. 1. Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.

   2. En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.

4. Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.

[planches/ex0725] ccp PSI 2013

1. Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).

   1. Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).

   2. Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).

2. Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).

   1. Justifier l’existence de \(S\).

   2. Calculer \(\varphi(1/2)\).

   3. En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).

[oraux/ex2304] mines MP 2005 Soit \(\Omega=\{z\in\mathbf{C},\ \mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z>-1\}\). Si \(z\in\Omega\), soit \(f(z)=\displaystyle\int_0^1{t^z\over1+t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\Omega\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-1\).

3. Donner un équivalent de \(f(z)\) quand \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z\rightarrow+\infty\).

[planches/ex0821] centrale PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(t))\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité, la dérivabilité.

2. La fonction \(f\) est-elle monotone ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

4. Calculer \(f'(x)\).

[planches/ex0909] PC 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta)\,d\theta\).

1. Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)+\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/x)=\pi/2\).

2. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer son sens de variations.

3. Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\pi^2/4\). En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2323] ccp PSI 2005 On pose, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f(x)\).

3. La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\mathbf{R}\) ?

[planches/ex7271] centrale PC 2021 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

4. Trouver la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex0690] mines MP 2013

1. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x/t)\over1+t^2}\,dt=\int_0^x{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\over t^2-1}\,dt\).

2. En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\over t^2-1}\,dt\).

[examen/ex3421] mines MP 2025 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Soient \(N_f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\left(\displaystyle\int_0^1f(t)^x\,\mathrm{d}t\right)^{\!1/x}\).

1. Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Déterminer la limite de \(N_f\) en \(+\infty\).

3. Déterminer la limite de \(N_f\) en \(0^+\).

[examen/ex2162] mines PC 2024 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Pour \(x>0\), on pose \(N_f(x)=\displaystyle\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t\right)^{1/x}\).

1. Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

3. Déterminer la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t-1\right)\) lorsque \(x\rightarrow 0^+\).

4. Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to 0\).

[examen/ex4005] centrale PC 2025 Pour \(x\in\mathbf{R}^+\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{t^2}\,e^{-xt}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est définie, continue sur \(\left[0,+\infty\right[\), de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).

2. Convergence et calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}{t}\,\mathrm{d}t\).

[oraux/ex2481] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Soit \(F:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(xt)\over t^2}e^{-t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire une expression de \(F(x)\).

3. Montrer que \(F(x)/x\rightarrow\pi/2\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).

   1. Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).

   2. Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).

   3. Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).

[planches/ex0696] mines MP 2013 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(1+t)}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition \(D\) de \(F\) (dans \(\mathbf{R}\)).

2. Étudier la continuité de \(F\) sur \(D\).

3. Étudier la limite de \(F\) en 0 et en \(+\infty\) (sic).

4. Donner un équivalent de \(F\) en 0 et en 1.

[planches/ex6819] mines MP 2021 On pose, pour \(x\in\left]0,1\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(t+1)}\). Montrer que \(f\) est bien définie. Trouver des équivalents simples de \(f\) au voisinage de 0 et de 1.

[planches/ex2125] mines MP 2017

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).

3. Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.