Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0691] mines MP 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t\over1+t^2}e^{-xt}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition réel de \(F\).

2. Étudier la continuité et les variations de \(F\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\) et quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).

Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).

[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[examen/ex3011] polytechnique MP 2025 Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}(te^{-t})^x\,\mathrm{d}t\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex0682] polytechnique PC 1997 Soit \(\varphi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty} {tx^2\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\over\left(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\right)^2}\,dx\). Étudier \(\varphi\) et trouver un équivalent quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)

Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

1. Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).

2. Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).

3. Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.

4. Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).

5. Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).

[oraux/ex2277] centrale 2004 Étudier la continuité et la dérivabilité sur \(\mathbf{R}_+\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\sqrt{1+xt}\,dt\). Équivalent en \(+\infty\) ?