Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex4240] ccinp PSI 2025 Le but est de calculer l’intégrale \(A=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u\).

On pose \(\psi:x\in\mathbf{R}^+\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(\psi\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\).

2. Montrer que \(\psi\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

3. Calculer \(\psi(0)\) et déterminer la limite de \(\psi\) en \(+\infty\).

4. Montrer que, pour tout \(x>0\), \(\psi'(x)=-A\displaystyle\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\).

5. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\psi'(x)\,\mathrm{d}x=-2A^2\). En déduire la valeur de \(A\).

[planches/ex0781] polytechnique, ens cachan PSI 2015 Soient \[f:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^xe^{-t^2}\,dt\quad\hbox{et}\quad g:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^1{e^{-(t^2+1)x^2}\over1+t^2}\,dt.\]

1. 1. Calculer \(g(0)\) et montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0\).

   2. Montrer que \(g\) est dérivable et calculer \(g'\) en fonction de \(f\) et \(f'\).

   3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\).

2. Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) continue par morceaux et bornée. On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) et pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(\varphi_n(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)e^{-n^2(x-y)^2}\,dy\). Montrer que \(\varphi_n\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\) et que la suite \((\varphi_n)_{n\in\mathbf{N}}\) converge simplement vers \(\varphi\).

[planches/ex0734] ccp PSI 2013

1. Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) est convergente.

2. Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^1{e^{-x(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(G:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\). Montrer que \(F+G^2\) est constante. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(F\). En déduire la valeur de \(I\).

[planches/ex5420] centrale PSI 2019 Pour \(x\in\mathbf{R}_+\), on note \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\sqrt x}e^{-t^2}\,dt\) et \(G(x)=\displaystyle\int_0^1{e^{-(t^2+1)x}\over t^2+1}\,dt\).

1. Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) existe.

2. Montrer que \(G\) existe et qu’elle est de classe \(\mathscr{C}^1\). Calculer \(G(0)\).

3. Montrer que pour \(x>0\), \(G'(x)=-2F(x)F'(x)\) et en déduire la valeur de \(I\).

[oraux/ex2456] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^x{e^{-x^2(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(F_1(x)=-2x\displaystyle\int_0^1e^{-x^2(1+t^2)}\,dt\).

1. Exprimer \(F_1\) en fonction de \(f\) et de \(f'\). En déduire que \(F_1\) est de classe \(C^\infty\).

2. Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(\displaystyle\int_0^uF_1(x)\,dx=F(u)-\pi/4\).

3. Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(F(u)+f(u)^2=K\) où \(K\) est une constante à déterminer.

4. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\). En déduire la limite \(\ell\) de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex0722] tpe MP 2013 Soit \(\Phi:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Domaine de définition ? Limites aux bornes ?

2. Donner un équivalent en \(+\infty\).

[planches/ex8906] imt MP 2022 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).

1. Étudier le domaine de définition, puis la continuité de \(F\).

2. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

[planches/ex8904] imt MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Quel est l’ensemble de définition de \(f\) ?

2. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over x}+o\left({1\over x}\right)\).

[oraux/ex2689] mines PSI 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Calculer \(f-f'\).

3. Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex0789] mines PSI 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\). On rappelle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt={\sqrt\pi\over2}\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).

3. Donner un équivalent simple de \(f'\) au voisinage de \(+\infty\).

4. Calculer \(f-f'\).

5. En déduire un développement asymptotique de \(f\) à deux termes au voisinage de \(+\infty\).

[oraux/ex2467] mines PSI 2010 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over1+tx}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\). Déterminer ses variations, \(f(0)\) et la limite de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex8807] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?

3. Étudier les variations de \(f\) sur \(D\).

4. Déterminer un équivalent de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[planches/ex8104] mines MP 2022 Limite et équivalent simple en \(0^+\) de \(x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

[concours/ex2225] polytechnique M 1995 Développement asymptotique en \(+\infty\) de \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

[planches/ex0893] centrale PC 2016 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Donner les limites de \(f\) en \(+\infty\) puis en 0.

[examen/ex3798] mines PC 2025 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x+t}\,\mathrm{d}t\).

1. Donner le domaine de définition et montrer que \(F\) est monotone.

2. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

3. Limite et équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

4. Limite et équivalent de \(F\) en \(0\).

[oraux/ex2373] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x^2}\,dt\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue ? Est-elle intégrable en 0 et en \(+\infty\) ?

[examen/ex3897] centrale MP 2025 Soit \(f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t+x}\,\mathrm{d}t\).

1. Rappeler le théorème de convergence dominée.

2. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

3. Trouver la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Soit \(n \in \mathbb{N}\).

   Montrer l’existence de \(a_0\), … , \(a_n\in\mathbf{Z}\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop{=}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k}{x^k}+o\left(\frac{1}{x^n}\right)\).

[oraux/ex2307] mines PC 2005

1. Domaine de définition de \(f\) telle que, pour tout \(x\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,dt\over x^2+t}\) ?

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Montrer qu’en \(+\infty\) : \(f(x)\sim1/x^2\).

[planches/ex0787] mines MP 2015 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(F\) dans \(\mathbf{R}\), puis montrer que \(F\) est continue sur ce domaine. Étudier la monotonie de \(F\).

2. Trouver la limite de \(F\) en \(+\infty\) et donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

3. Trouver la limite de \(F\) en 0 et donner un équivalent de \(F\) en 0.

4. Étudier la convexité de \(F\).