Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0724] ccp MP 2013 Pour \(x\), \(y>0\) on note \[G(x,y)=\int_0^y{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]

1. Montrer que \(G\) est bien définie et que, à \(x>0\) fixé, \(G(x,y)\) admet une limite finie positive notée \(G(x)\) quand \(y\) tend vers \(+\infty\).

2. Montrer que, pour tout \(n>0\), \(G(n,y)=\displaystyle{1\over n}\left(\int_0^n{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt-\int_y^{y+n}{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt\right)\).

3. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n)-H(n-1)-\displaystyle{1\over2n}\) est convergente, et en déduire un équivalent de \(G(n)\).

[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).

1. Trouver le domaine de définition de \(F\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).

[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).

1. Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).

2. Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[examen/ex2901] ens PC 2025 Pour \(a>0\), on pose \(f(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+a^2x^2}}\).

1. Justifier la définition de \(f(a)\).

2. Montrer que \(f(a)\mathrel{\mathop{=}\limits_{a\to+\infty}}\mathrm{O}\left(\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a}{a}\right)\).

[oraux/ex2431] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t)\,dt\).

1. Tracer le graphe de \(f\).

2. Étudier \(f\) : domaine de définition, continuité, dérivabilité, variations, limites.

3. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\alpha\).

4. Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f\) au voisinage de 0.

[concours/ex1295] mines MP 1998 Pour \(x>0\) on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(1+t^2)(t^2+x)}}\). Existence et continuité ? Limites et équivalents en \(0\) et \(+\infty\) ?

[examen/ex3417] mines MP 2025 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}\). Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

[planches/ex8800] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+xt)\over t+t^3}\,dt\).

1. Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\) sur \(D\).

3. Déterminer les variations de \(f\) sur \(D\).

4. Déterminer un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.

5. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[examen/ex2269] centrale MP 2024

1. Rappeler la formule de Stirling.

2. Donner un équivalent de \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)^{2n}\,\mathrm{d}x\) quand \(n\to+\infty\).

3. On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-x^2t^2)}}\).

   1. Ensemble de définition ?

   2. Développer \(F\) en série entière au voisinage de \(0\).

   3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers 1.

[examen/ex1376] polytechnique MP 2024 Déterminer un équivalent en \(1^-\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}\mathrm{d} t\).