Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0256] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-E(t)\over t(t+x)}\,dt\). Domaine de définition de \(f\) ? Limites et équivalents en \(0\) et en \(+\infty\).

[examen/ex0694] ccinp MP 2023 On pose \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(x+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(G\) est bien définie pour \(x>0\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(n+t)}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\left(\int_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t-\int_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t\right)\).

3. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n+1)-H(n)-\displaystyle\frac{1}{2n}\) converge. En déduire un équivalent de \(G(n)\).

[oraux/ex2299] mines MP 2005 Pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), soit : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[oraux/ex2431] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t)\,dt\).

1. Tracer le graphe de \(f\).

2. Étudier \(f\) : domaine de définition, continuité, dérivabilité, variations, limites.

3. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\alpha\).

4. Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f\) au voisinage de 0.

[concours/ex1295] mines MP 1998 Pour \(x>0\) on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(1+t^2)(t^2+x)}}\). Existence et continuité ? Limites et équivalents en \(0\) et \(+\infty\) ?

[examen/ex3417] mines MP 2025 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}\). Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

[examen/ex2901] ens PC 2025 Pour \(a>0\), on pose \(f(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+a^2x^2}}\).

1. Justifier la définition de \(f(a)\).

2. Montrer que \(f(a)\mathrel{\mathop{=}\limits_{a\to+\infty}}\mathrm{O}\left(\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a}{a}\right)\).

[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009

1. Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).

2. Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).

[concours/ex0245] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-t^2x^2)}}\). Préciser le domaine de définition de \(f\) et étudier sa continuité. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1^-\).

[examen/ex2269] centrale MP 2024

1. Rappeler la formule de Stirling.

2. Donner un équivalent de \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)^{2n}\,\mathrm{d}x\) quand \(n\to+\infty\).

3. On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-x^2t^2)}}\).

   1. Ensemble de définition ?

   2. Développer \(F\) en série entière au voisinage de \(0\).

   3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers 1.