Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).

2. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).

[planches/ex3783] mines PC 2018 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\). Déterminer le domaine de définition de \(f\). Déterminer la limite de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.

2. Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[examen/ex3794] mines PC 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(F\) est continue et décroissante sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

3. Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

   Indication : Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

[planches/ex8448] mines PC 2022 Pour tout \(x\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

3. Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.

4. Équivalents de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.

[planches/ex0724] ccp MP 2013 Pour \(x\), \(y>0\) on note \[G(x,y)=\int_0^y{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]

1. Montrer que \(G\) est bien définie et que, à \(x>0\) fixé, \(G(x,y)\) admet une limite finie positive notée \(G(x)\) quand \(y\) tend vers \(+\infty\).

2. Montrer que, pour tout \(n>0\), \(G(n,y)=\displaystyle{1\over n}\left(\int_0^n{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt-\int_y^{y+n}{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt\right)\).

3. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n)-H(n-1)-\displaystyle{1\over2n}\) est convergente, et en déduire un équivalent de \(G(n)\).

[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).

1. Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).

2. Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[concours/ex0256] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-E(t)\over t(t+x)}\,dt\). Domaine de définition de \(f\) ? Limites et équivalents en \(0\) et en \(+\infty\).

[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).

1. Trouver le domaine de définition de \(F\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).