Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0296] mines PC 2023 Soit \(\alpha>0\). On définit \(I(\alpha)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1-t^\alpha\right)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de convergence de \(I(\alpha)\).

2. Écrire \(I(\alpha)\) comme la somme d’une série.

3. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers 0.

4. Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).

2. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

3. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]

4. Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).

5. Tracer le graphe de \(f\).

6. Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).

[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)

On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).

3. Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.

[planches/ex0853] mines PSI 2016 Pour \(x>0\), on pose \[f(x)=\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt.\]

1. Montrer que \(f\) est bien définie.

2. Écrire \(f\) comme somme d’une série de fonctions.

3. Déterminer la limite de \(f\) en 0.

[oraux/ex2250] mines 2003

1. Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).

2. On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).

   Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).

3. Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?

4. Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).

[planches/ex6915] mines PSI 2021 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est correctement définie.

2. Exprimer \(f(x)\) sous forme de la somme d’une série de fonctions.

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). On admettra : \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over6}\).

[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Justifier la définition de \(f\).

2. Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.

3. Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).

[concours/ex1095] polytechnique MP 1998 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{x+1}}\). Définition, continuité, dérivabilité, limites en \(0\) et \(+\infty\), équivalent en \(0\) ?

[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).

2. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).

[oraux/ex2405] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie. Étudier la monotonie de \(f\).

2. Calculer, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x+1)+f(x)\).

3. Donner des équivalents de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).